Что требует программа
Страница для реального профиля: там математика на BAC обязательна. В разделе X.7 программа требует выпуклые четырёхугольники — параллелограмм, его частные виды и трапецию — со свойствами и признаками, вписанные и описанные четырёхугольники, выпуклые многоугольники и правильные многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник, вписанные в окружность и описанные около неё. В учебнике X класса это модуль 9, повторение с дополнениями.
Выпуклый многоугольник
Многоугольник выпуклый, если он целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Внешний угол смежен внутреннему углу при той же вершине, а диагональ соединяет две несоседние вершины. Для n сторон:
- из одной вершины выходит n−3 диагонали, всего их 2n(n−3);
- сумма внутренних углов Sn=180∘(n−2).
Параллелограмм
У параллелограмма противолежащие стороны попарно параллельны. Отсюда его свойства: противолежащие стороны и противолежащие углы конгруэнтны, два угла при одной стороне в сумме дают 180∘, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Свойства работают и в обратную сторону, как признаки: выпуклый четырёхугольник — параллелограмм, если у него противолежащие стороны попарно конгруэнтны, или противоположные углы попарно конгруэнтны, или пары углов, прилежащих к одной стороне, дают в сумме 180∘, или диагонали делятся точкой пересечения пополам; достаточно и одной пары противолежащих сторон, параллельных и конгруэнтных. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке и отсекает равнобедренный треугольник углы и — внутренние накрест лежащие. Стороны и диагонали связаны равенством
| Фигура | Что это | Признак для параллелограмма |
|---|
| прямоугольник | параллелограмм с прямым углом; все углы прямые | диагонали конгруэнтны |
| ромб | параллелограмм с конгруэнтными смежными сторонами; все стороны конгруэнтны | диагонали перпендикулярны или лежат на биссектрисах углов |
| квадрат | ромб с прямым углом, он же прямоугольник с конгруэнтными смежными сторонами | диагонали конгруэнтны и перпендикулярны: прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — квадрат |
Признаки из таблицы применяют к параллелограмму. Перпендикулярные диагонали произвольного четырёхугольника ещё не делают его ромбом: сначала докажи, что это параллелограмм.
Трапеция
У трапеции две противолежащие стороны параллельны — это основания, две другие непараллельны — боковые стороны. Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна 2a+b. У равнобокой трапеции боковые стороны конгруэнтны, диагонали конгруэнтны, а углы при каждом основании конгруэнтны. В равнобокой трапеции высота из вершины тупого угла делит большее основание a на отрезки 2a+b и где — меньшее основание.
Вписанные и описанные четырёхугольники
У вписанного четырёхугольника вершины лежат на окружности, у описанного стороны касаются окружности; вписываемый и описываемый значит, что такая окружность существует. Признаки, каждый необходимый и достаточный:
- 1)около четырёхугольника можно описать окружность, когда сумма противоположных углов равна 180∘;
- 2)или когда угол между диагональю и стороной равен углу между противоположной стороной и другой диагональю, например ∠ABD≡∠ACD;
- 3)или когда внутренний угол равен внешнему углу при противоположной вершине;
- 4)в четырёхугольник можно вписать окружность, когда суммы противоположных сторон равны: AB+CD=BC+AD.
Около равнобокой трапеции окружность можно описать всегда: углы при одном основании равны, а углы при боковой стороне — внутренние односторонние при параллельных основаниях и в сумме дают 180∘; значит, и противоположные углы дают в сумме 180∘.
Правильные многоугольники
Правильный многоугольник выпуклый, у него все стороны и все углы конгруэнтны. Внутренний угол βn=n180∘(n−2); внешний угол смежен ему, и из формулы получается 180∘−βn=n360∘. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность, и центр у них общий — центр многоугольника. Радиус описанной окружности называют радиусом многоугольника, радиус вписанной — апофемой; центральный угол, опирающийся на сторону, равен
| Многоугольник | Сторона через R | Сторона через r |
|---|
| с n сторонами | an=2Rsinn180∘ |
Левый столбец — для многоугольника, вписанного в окружность радиуса R, правый — для описанного около окружности радиуса r. У правильного многоугольника есть обе окружности, поэтому по одной из величин an, R, r находятся две другие.
На BAC
Трапеция, ромб или параллелограмм могут встретиться в задаче по планиметрии или как основание пирамиды. Фигуру разбивают на треугольники и работают с теоремой Пифагора, теоремой косинусов или синусов. Перед вычислением запиши свойство или признак, на который опирается шаг, как в решениях учебника.
