Что требует программа
Тема — раздел XI.7 программы BAC для реального профиля, где математика — обязательный экзамен. Программа требует: перпендикулярные прямые, прямую, перпендикулярную плоскости, ортогональные проекции, расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости и от прямой до плоскости, угол между прямой и плоскостью, теорему о трёх перпендикулярах с обратной теоремой, двугранный угол, перпендикулярные плоскости и длину проекции отрезка. В куррикулуме это тема VII в XI классе, сразу после параллельности в пространстве; в учебнике XI класса — модуль 9.
Перпендикулярные прямые
У скрещивающихся прямых нет общей точки, поэтому угол между ними измеряют через параллельные: через любую точку M проводят прямые, параллельные данным, и берут угол между ними. Прямые перпендикулярны, если этот угол равен 90∘. Значит, перпендикулярные прямые не обязаны пересекаться: в кубе ABCDA1B1C1D1 прямые AA1 и BC перпендикулярны.
Прямая, перпендикулярная плоскости
- Определение: прямая перпендикулярна плоскости, когда она образует прямой угол с каждой прямой этой плоскости.
- Признак, которым пользуются в решениях: достаточно перпендикулярности двум пересекающимся прямым плоскости.
- Через данную точку проходит ровно одна прямая, перпендикулярная данной плоскости.
- Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. И наоборот: плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.
- Наклонной называют прямую, не параллельную плоскости и не перпендикулярную ей.
Проекции и расстояния
Чтобы спроецировать точку M на плоскость α, через M проводят прямую, перпендикулярную α; точка её пересечения с α и есть ортогональная проекция M. Проекцию фигуры получают, проецируя каждую её точку. Прямая проецируется на плоскость в прямую, с одним исключением: прямая, перпендикулярная плоскости, проецируется в точку.
- Расстояние от точки M до прямой — длина отрезка MM1, где M1 — проекция M на эту прямую.
- Расстояние от точки до плоскости измеряют по перпендикуляру: это длина отрезка от точки до её проекции на плоскость.
- Перпендикуляр из точки к плоскости не длиннее любой наклонной из той же точки: перпендикуляр, наклонная и отрезок между их основаниями образуют прямоугольный треугольник с прямым углом при основании перпендикуляра. На этом треугольнике держится почти каждое вычисление по теореме Пифагора в теме.
- Расстояние от прямой до плоскости имеет смысл, только когда прямая параллельна плоскости: тогда берут любую точку прямой и измеряют расстояние от неё до плоскости. Учебник использует его в задачах такого вида: плоскость проходит через меньшее основание трапеции или через сторону параллелограмма, и расстояние от большего основания или от противолежащей стороны до плоскости — это расстояние от прямой до плоскости.
Угол между прямой и плоскостью
Для наклонной строят её проекцию на плоскость; острый угол между наклонной и этой проекцией и есть угол с плоскостью. Для отрезка берут его несущую прямую. Если длина отрезка равна l, а угол с плоскостью равен φ, то длина проекции равна lcosφ.
Теорема о трёх перпендикулярах
Пусть MA⊥α, точка A лежит в плоскости, а b — прямая плоскости α (рисунок). Если проекция AD наклонной MD перпендикулярна b, то и сама наклонная MD перпендикулярна b. Обратная теорема: если наклонная перпендикулярна прямой плоскости, то и её проекция перпендикулярна этой прямой. Так находят расстояние от точки вне плоскости до прямой в плоскости: из проекции точки опускают перпендикуляр на прямую и соединяют его основание с самой точкой.
Двугранный угол и перпендикулярные плоскости
Две замкнутые полуплоскости с общей граничной прямой образуют двугранный угол: общая прямая — его ребро, полуплоскости — грани. Чтобы измерить его, берут точку на ребре и проводят из неё в каждой грани луч, перпендикулярный ребру; угол между лучами — линейный угол. Линейные углы одного двугранного угла все конгруэнтны, поэтому величиной двугранного угла считают величину любого из них.
- Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен 90∘.
- Признак: плоскости перпендикулярны ровно тогда, когда в одной из них есть прямая, перпендикулярная другой плоскости.
- Свойство, которое нужно в задачах с пирамидами: если две плоскости перпендикулярны, то прямая одной из них, проведённая перпендикулярно их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости (это сторона линейного угла прямого двугранного угла).
- Площадь проекции треугольника на плоскость равна Apr=Acosφ, где φ — двугранный угол между плоскостью треугольника и этой плоскостью. Так величину двугранного угла находят без построения линейного угла. Программа BAC называет только длину проекции отрезка; площадь проекции фигуры есть в куррикулуме, а учебник доказывает её формулу для треугольника.
| Что нужно найти | Что строят |
|---|
| расстояние от точки до плоскости | перпендикуляр из точки к плоскости |
| расстояние от M до прямой b плоскости, если MA⊥α | AD⊥b в плоскости, затем отрезок MD |
| угол между прямой и плоскостью | проекцию прямой на плоскость |
| двугранный угол | из одной точки ребра по перпендикуляру к ребру в каждой грани |
Три свойства для задач с пирамидами
- Если точка вне плоскости многоугольника равноудалена от его вершин, её проекция на плоскость — центр окружности, описанной около многоугольника.
- Если плоскости, проходящие через точку и стороны выпуклого четырёхугольника, образуют с его плоскостью конгруэнтные углы, то четырёхугольник описанный, а проекция точки равноудалена от его сторон.
- Если точка вне плоскости ромба равноудалена от его сторон, то её проекция на плоскость ромба — точка пересечения диагоналей.
