Математика, BAC · Реальный профиль · Геометрия · Многогранники

Пирамида и правильная усеченная пирамида: сечения, площади, объём

Пирамида и правильная усеченная пирамида на BAC, реальный профиль: элементы, сечения, площади и объём. Здесь определения, теоремы и формулы из учебников 11 и 12 классов.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники

Что нужно знать

Что требует программа
Страница для реального профиля. В разделе XII.5 «Многогранники» программа просит пирамиду (элементы, классификация), сечения, параллельные основанию, и сечения, содержащие высоту и диагональ основания, площади поверхностей и объём, а затем те же пункты для правильной усеченной пирамиды.

Пирамида и её элементы
Возьмём многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$ и точку $V$ вне его плоскости. Если соединить $V$ отрезками со всеми точками многоугольника, заполненная ими фигура — пирамида $VA_1A_2\ldots A_n$ . Многоугольник — основание, $A_i$ — вершины основания, $V$ — вершина пирамиды, отрезки $VA_i$ — боковые рёбра, треугольники $VA_iA_{i+1}$ — боковые грани. Перпендикуляр $VO$ к плоскости основания (точка $O$ лежит в этой плоскости) — высота пирамиды; высотой называют и его длину $H$ . Пирамиду называют треугольной, четырёхугольной, пятиугольной и так далее по числу сторон основания.

Правильная пирамида
У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота падает в его центр (учебник называет эту точку центром симметрии основания; это общий центр описанной и вписанной окружностей многоугольника). Боковые грани тогда — конгруэнтные равнобедренные треугольники, а их высота, опущенная на сторону основания, называется апофемой пирамиды.

Где основание высоты
У произвольной пирамиды от положения основания высоты зависит весь расчёт:

если боковые рёбра конгруэнтны (или одинаково наклонены к плоскости основания, или образуют равные углы с высотой), около основания можно описать окружность, и высота падает в её центр;
если двугранные углы при основании конгруэнтны (или высота образует равные углы с боковыми гранями, или равны высоты боковых граней, проведённые из вершины), в основание можно вписать окружность, и высота падает в её центр.

Двугранные углы при основании — углы между плоскостью основания и боковыми гранями. Двугранный угол измеряют его линейным углом — сечением плоскостью, перпендикулярной ребру. Пусть $M$ — основание перпендикуляра из $O$ на сторону основания, а $O$ лежит по ту же сторону от прямой этой стороны, что и основание (при вписанной окружности $O$ внутри основания, и это так). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $VM$ перпендикулярна этой стороне, и двугранный угол при ней равен $\angle VMO$ из прямоугольного треугольника если лежит по другую сторону, двугранный угол равен Угол бокового ребра с плоскостью основания — это потому что проекция ребра на плоскость — отрезок

Сечения
Диагональное сечение пирамиды — сечение плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания. Если основание высоты лежит на этой диагонали (у правильной четырёхугольной пирамиды — на обеих), сечение содержит высоту: это треугольник, в котором $VO$ — высота. Плоскость, параллельная основанию и отстоящая от вершины на расстояние $h$ , пересекает пирамиду высотой $H$ по многоугольнику, подобному основанию, с коэффициентом подобия $k=\dfrac{h}{H}$ ; площадь сечения относится к площади основания как

Площади
Площадь боковой поверхности $A_{\text{бок}}$ — сумма площадей боковых граней, площадь полной поверхности $A_{\text{полн}}=A_{\text{бок}}+A_{\text{осн}}$ . У правильной пирамиды с апофемой полупериметром основания и радиусом вписанной в основание окружности: У произвольной пирамиды площади граней складывают. Для любого многоугольника с вписанной окружностью радиуса площадь равна (разбейте его на треугольники с вершиной в центре окружности: у каждого высота поэтому

Объём
$V=\dfrac13A_{\text{осн}}\cdot H$ . В учебнике формулу получают, разбивая треугольную призму на три треугольные пирамиды с равными объёмами.

Усеченная пирамида
Плоскость, параллельная основанию, делит пирамиду на два тела: малую пирамиду при вершине и усеченную пирамиду. У усеченной пирамиды два основания: верхнее — многоугольник сечения, нижнее — основание исходной пирамиды; боковые грани — трапеции, их непараллельные стороны — боковые рёбра; высота — отрезок, перпендикулярный плоскостям обоих оснований, с концами в них. Верхнее основание — параллельное сечение, поэтому основания подобны, а площади относятся как квадраты расстояний от оснований до вершины. Усеченную пирамиду, полученную из правильной, называют правильной, а высоту её боковой грани — апофемой. Отдельного определения классификации усеченных пирамид на страницах 158–159 учебника нет; их называют по основанию, как в его задачах: правильная треугольная, правильная четырёхугольная усеченная пирамида. Сечения усеченной пирамиды бывают диагональные, параллельные основаниям и содержащие высоту; плоскость через высоту пересекает параллельные основания по параллельным отрезкам, поэтому такое сечение — трапеция.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $A_{\text{полн}}=A_{\text{бок}}+A_{\text{мал}}+A_{\text{бол}}$ , где — площадь меньшего основания, — большего. У правильной усеченной пирамиды со сторонами оснований и апофемой и сторонами основания: Объём усеченной пирамиды высотой равен разности объёмов полной и малой пирамид:

Расчёт в двух словах
Почти любая задача сводится к прямоугольному треугольнику с высотой: $VOA_i$ для ребра, $VOM$ для апофемы. Основание высоты $O$ находят по правилам выше, затем идут теорема Пифагора или тригонометрия. В реальных вариантах BAC 2022–2026, доступных на сайте, встречается пирамида (шесть заданий ниже); усеченной пирамиды среди них нет, хотя программа её требует.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: EducatieOnlineRu · YouTube

О чём: Определение пирамиды и её элементы, высота, классификация по основанию, правильная пирамида и апофема, теорема о конгруэнтных боковых рёбрах (основание высоты — центр описанной окружности).

Канал: EducatieOnlineRu · YouTube

О чём: Площади боковой и полной поверхности пирамиды, формулы для правильной пирамиды (апофема, полупериметр, радиус вписанной окружности) и две задачи на площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды. Объём в этом уроке не разбирается.

Канал: Clasa Viitorului · YouTube

О чём: С 25:15: задача на пирамиду с основанием — равнобедренной трапецией и равными боковыми рёбрами (основание высоты — центр описанной окружности, объём), с 41:28 — задача на правильную усеченную треугольную пирамиду (сечение через боковое ребро и центры оснований, углы бокового ребра и боковой грани с большим основанием). Урок повторения перед BAC для школ с русским языком обучения, ведётся по-русски; название урока на румынском.

Пирамида и правильная усеченная пирамида: сечения, площади, объём

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу