Системы линейных уравнений: правило Крамера, метод Гаусса
Системы линейных уравнений не более чем с тремя неизвестными — вторая часть темы XI.5 программы бакалавриата для реального профиля. Здесь правило Крамера, метод Гаусса, совместность, однородные системы и параметр.
XI.5. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- Системы линейных уравнений типа mxn, m, n ∈ ℕ∗, m ≤ 3, n ≤ 3.
- Правило Крамера, метод Гаусса.
- Однородные системы линейных уравнений типа mxn, m, n ∈ ℕ∗, m ≤ 3, n ≤ 3.
Что требует программа В реальном профиле раздел XI.5 программы бакалавриата заканчивается системами линейных уравнений: не больше трёх уравнений и трёх неизвестных, правило Крамера, метод Гаусса и однородные системы тех же размеров. Отдельно программа требует умения определять, совместна система или нет, и выбирать подходящий способ решения. Программа требует и обратную матрицу второго порядка, и матричные уравнения AX=B с матрицами второго порядка. Куррикулум XI класса идёт дальше — до четырёх уравнений с четырьмя неизвестными — и называет матричный метод среди способов решения систем. Определители и обратная матрица разобраны на странице о матрицах и определителях; отсюда нужны два правила: a11a21a12a22=a11a22−a12a21, а определитель третьего порядка — сумма шести произведений, которую считают по правилу треугольников или по правилу Саррюса.
Основные понятия В системе из m линейных уравнений с n неизвестными числа aij — коэффициенты при неизвестных, а b1,…,bm — свободные члены. Коэффициенты образуют матрицу системы если приписать к ней столбец свободных членов, получится расширенная матрица В матричном виде система записывается как
Решение — упорядоченный набор из n чисел, при подстановке которого каждое уравнение становится верным равенством.
Система совместна, если у неё есть хотя бы одно решение, и несовместна, если решений нет. Совместная система определённая, когда решение единственное, и неопределённая, когда решений больше одного.
Если у линейной системы два решения, то их бесконечно много.
Системы равносильны, когда множества их решений совпадают.
Если у двух уравнений одинаковые левые части и разные свободные члены, система несовместна.
Решить систему — значит выяснить, совместна ли она, и для совместной найти все решения.
Правило Крамера Применяется к системе, в которой уравнений столько же, сколько неизвестных. Сначала считают главный определитель Δ=detA. Второстепенные определители Δ1,Δ2,Δ3 получаются из заменой столбца соответствующего неизвестного столбцом свободных членов; остальные столбцы не трогают. При система совместна и определённа:
Пример из учебника: для системы 2x1−4x2=3,3x1+2x2=1 получаем то есть То же единственное решение даёт матричный метод: если обратима, При правило Крамера ответа не даёт, и примеры учебника показывают, что возможны оба случая: система совместна и неопределённа, а несовместна, хотя у обеих Поэтому такой случай исследуют методом Гаусса.
Метод Гаусса Его называют также методом последовательного исключения неизвестных, и он подходит для любой линейной системы, квадратной или нет. Работают с расширенной матрицей и тремя преобразованиями, которые не меняют множество решений: переставить две строки, умножить строку на ненулевое число, прибавить к строке другую строку, умноженную на число. Цель — ступенчатая матрица: в каждой строке, начиная со второй, первый ненулевой элемент стоит правее, чем в строке выше.
Затем сравнивают число ненулевых строк ступенчатой матрицы A1 (левее черты) и Aˉ1:
Что видно в ступенчатом виде
Вывод
у Aˉ1 ненулевых строк больше, чем у A1: строка 0=b,b=0
Треугольную систему решают снизу вверх: из последнего уравнения находят последнее неизвестное, подставляют его в уравнения выше и так доходят до первого. Если r<n, выбирают r главных неизвестных, остальные (свободные) обозначают параметрами (x3=α), переносят в правые части с противоположным знаком и выражают главные неизвестные через α. Так получается общее решение; конкретное значение α даёт частное решение.
Однородные системы Система однородна, если все свободные члены равны 0. Она всегда совместна: у неё есть нулевое решение. Если в ступенчатой матрице n ненулевых строк, нулевое решение единственное. Если меньше, система неопределённа; так бывает, когда уравнений меньше, чем неизвестных, или когда система квадратная и detA=0. Итог: квадратная однородная система имеет ненулевые решения ровно тогда, когда detA=0.
Исследование системы с параметром Программа даёт такую задачу среди примеров заданий: в задании 50 нужно найти действительные значения m, при которых система трёх уравнений с параметром несовместна. С квадратной системой можно действовать так: считают Δ как выражение от параметра и находят, при каких значениях он равен нулю; при остальных значениях система совместна и определённа, и работает правило Крамера; каждое значение, при котором Δ=0, подставляют в систему и исследуют отдельно методом Гаусса.
Учебник решает такой пример сразу методом Гаусса, без Δ: приводит расширенную матрицу с параметром α к ступенчатому виду и разбирает случаи по элементу 6−3α. При α=2 система треугольная, значит совместна и определённа; при α=2 она несовместна.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Правило Крамера для систем 2×2 и 3×3: вывод формул, главный и второстепенные определители, решённый пример 3×3. Замечание в конце урока (с 14:11) о случае, когда главный и все второстепенные определители равны нулю, неточно: такая система 3×3 может оказаться и несовместной, поэтому случай Δ=0 исследуй методом Гаусса, как на этой странице.
О чём: Метод Гаусса: элементарные преобразования, приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, теорема о совместности и пример системы 3×3 с единственным решением — прямой и обратный ход.
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
