Matematica, Clasa a IX-a · Geometrie

Cercul. Discul: tangenta, unghi la centru și înscris, coarde

Cercul și discul: elementele lor, numărul π, poziția unei drepte, tangenta, unghiul la centru și cel înscris. Aici ai tot ce cere programa la temă, cu regulile din manual și un exemplu rezolvat.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Desene și scheme
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse
Încă 3 părți — în abonament

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Programa examenului de gimnaziu cere la această temă: cercul și discul, elementele lor, interiorul și exteriorul, numărul $\pi$ ; poziția unei drepte față de un cerc; unghiul la centru, unghiul înscris și arcul de cerc; tangenta și proprietățile ei; coardele egal depărtate de centru.

Cercul, discul și elementele lor
Cercul $C(O,r)$ cu centrul $O$ și raza $r$ este format din toate punctele planului aflate exact la distanța $r$ de $O$ . Un punct $M$ este în interiorul cercului când $OM<r$ și în exteriorul lui când $OM>r$ . Cercul împreună cu interiorul lui formează discul: $OM\le r$ .

raza unește centrul cu un punct al cercului;
coarda unește două puncte ale cercului;
diametrul este coarda care trece prin centru.

Toate punctele cercului sunt la distanța $r$ de $O$ , deci $OA=OB=r$ pentru orice două puncte $A$ și $B$ ale cercului. Dacă nu este diametru, triunghiul are două laturi egale: este isoscel.

Numărul $\pi$ și lungimea cercului
Raportul dintre lungimea oricărui cerc și diametrul lui este același număr, notat $\pi$ . El este irațional: $\pi=3{,}1415\ldots$ Lungimea cercului este $L=\pi d$ , iar cu raza $R$ se scrie Dacă enunțul cere răspunsul cu lași în rezultat, fără rotunjire. Lungimea cercului și aria discului sunt trecute de program și la tema „Arii”.

Poziția unei drepte față de un cerc
Fie $d$ distanța de la centrul cercului de rază $r$ până la dreaptă:

Relația	Dreapta se numește
$d>r$	exterioară cercului
$d=r$	tangentă la cerc; $M$ este punctul de tangență
$d<r$

Tangenta și proprietățile ei

Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Și reciproca e adevărată: dacă o dreaptă este perpendiculară pe raza $OM$ în punctul $M$ al cercului, ea este tangentă la cerc în $M$ .
Prin fiecare punct al cercului trece o singură tangentă.
Dacă din punctul exterior $P$ sunt duse tangentele $PA$ și $PB$ ( și sunt punctele de tangență), segmentele și sunt congruente.

În probleme, tangenta îți dă un unghi drept: triunghiul $OAP$ este dreptunghic în $A$ , deci poți folosi teorema lui Pitagora sau suma unghiurilor.

Coarde

Dacă un diametru trece prin mijlocul unei coarde care nu este diametru, el este perpendicular pe coardă. Distanța de la centru la o coardă este lungimea perpendicularei duse din centru pe coardă, deci se află dintr-un triunghi dreptunghic în care raza este ipotenuza.
Coardele congruente sunt egal depărtate de centru, și reciproc: coardele egal depărtate de centru sunt congruente.
Coardele congruente subîntind arce congruente.

Unghi la centru, arc, unghi înscris
Unghiul la centru are vârful în centrul cercului. Intersecția cercului cu interiorul lui este arcul mic, iar intersecția cu exteriorul lui este arcul mare; cele două arce se numesc complementare. Măsura arcului mic este egală cu a unghiului la centru; măsura arcului mare este $360^\circ$ minus măsura arcului complementar, adică a celui mic. Un semicerc măsoară $180^\circ$ .

Unghiul înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui taie cercul. El măsoară cât jumătate din arcul cuprins între laturile lui. De aici:

unghiurile înscrise în același arc sunt congruente;
unghiul înscris într-un semicerc este drept.

Din regulile de mai sus mai rezultă: dacă un unghi la centru și un unghi înscris cuprind între laturi același arc mic, unghiul la centru este dublul celui înscris.

Atenție la arcul „cuprins între laturi”: este arcul din interiorul unghiului înscris, cel care nu conține vârful. Dacă vârful stă pe arcul mic, laturile lui cuprind arcul mare.

Cum procedezi

1.Du razele în punctele date de pe cerc: apar triunghiuri isoscele (dacă punctele nu sunt capetele unui diametru).
2.La o tangentă, marchează raza din punctul de tangență: unghi drept.
3.La un diametru, caută un unghi înscris în semicerc: tot unghi drept.
4.De la un arc la un unghi treci cu jumătatea sau cu dublul, după cum unghiul e înscris sau la centru.

Cercul. Discul: tangenta, unghi la centru și înscris, coarde

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Desene și scheme

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină