Ce cere programa
La examenul de gimnaziu tema adună poligoanele convexe, cu elementele și perimetrul lor, patrulaterele — paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul, trapezul cu linia lui mijlocie — și poligonul regulat, cu două exemple: triunghiul echilateral și pătratul. Curriculumul mai pune aici hexagonul regulat, pe care lista programei de examen nu îl numește.
Poligonul și elementele lui
Un poligon este o linie frântă închisă ale cărei laturi se ating numai în vârfuri. Laturile împart planul în două părți: cea mărginită de ele este interiorul, cealaltă este exteriorul. Poligonul este convex când segmentul dintre oricare două puncte ale interiorului rămâne în interior; dacă se găsesc două puncte pentru care segmentul iese afară, poligonul este concav. O diagonală leagă două vârfuri care nu sunt capetele aceleiași laturi. După numărul laturilor: 4 — patrulater, 5 — pentagon, 6 — hexagon. Perimetrul se obține adunând lungimile tuturor laturilor.
Trei formule pentru un poligon convex cu n laturi
| Ce se cere | Formula |
|---|
| diagonale dintr-un vârf | n−3 |
| toate diagonalele | 2n(n−3) |
| suma unghiurilor | 180∘(n−2) |
La patrulater: o singură diagonală din fiecare vârf, două în total, iar suma unghiurilor este 360∘. Pentagonul are suma unghiurilor 540∘, hexagonul 720∘.
Paralelogramul
Este patrulaterul în care ambele perechi de laturi opuse sunt paralele. Ce știi despre orice paralelogram:
- laturile opuse sunt congruente;
- unghiurile opuse sunt congruente;
- două unghiuri consecutive, alăturate aceleiași laturi, sunt suplementare: suma lor este 180∘;
- diagonalele se înjumătățesc: punctul lor comun este mijlocul fiecăreia.
Invers, ca să arăți că un patrulater convex este paralelogram, ajunge una dintre șase condiții (criteriile): două perechi de laturi paralele; o pereche de laturi paralele și congruente; laturile opuse congruente două câte două; unghiurile opuse congruente două câte două; unghiurile consecutive suplementare; diagonale cu același mijloc.
Paralelogramele particulare
- Dreptunghiul: unui paralelogram îi ajunge un singur unghi drept ca să fie dreptunghi, iar atunci toate patru unghiurile au 90∘. Diagonalele îl deosebesc de restul paralelogramelor: un paralelogram cu diagonale congruente este dreptunghi, și invers.
- Rombul: un paralelogram în care două laturi alăturate sunt congruente; atunci sunt congruente toate patru. Testul prin diagonale: dacă ele sunt perpendiculare sau stau pe bisectoarele unghiurilor, paralelogramul este romb, și invers.
- Pătratul: un romb care are un unghi drept; la fel de bine, un dreptunghi cu două laturi alăturate congruente.
Toate trei păstrează proprietățile paralelogramului. Pătratul le are și pe ale dreptunghiului (unghiuri drepte, diagonale congruente), și pe ale rombului (laturi congruente, diagonale perpendiculare, așezate pe bisectoare).
Trapezul
Trapezul are două laturi opuse paralele, numite baze; celelalte două, laturile laterale, nu sunt paralele. Înălțimea este un segment perpendicular pe dreptele bazelor, cu capetele pe ele. Trapezul isoscel are laturile laterale congruente: diagonalele lui sunt congruente, iar unghiurile de la aceeași bază sunt congruente. Trapezul dreptunghic are o latură laterală perpendiculară pe baze.
Linia mijlocie unește mijloacele laturilor laterale. Ea este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este semisuma bazelor: MN=2a+b, unde a și b sunt lungimile bazelor.
Poligonul regulat
Un poligon convex este regulat când are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente. Fiecare unghi al lui măsoară n180∘(n−2): 60∘ la triunghiul echilateral, 90∘ la pătrat. Condiția are două părți. Rombul are toate laturile congruente, dar unghiurile lui sunt congruente numai când fiecare are iar un romb cu unghi drept este pătrat. La fel, dreptunghiul are toate unghiurile congruente, dar laturile lui sunt toate congruente numai când două alăturate sunt congruente, adică tot când este pătrat.
