Математика, 9 класс · Геометрия

Окружность. Круг: касательная, центральный и вписанный углы, хорды

Окружность и круг: элементы, число π, положение прямой, касательная, центральный и вписанный углы. Здесь всё, что программа требует по теме: правила из учебника и разобранный пример.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что нужно знать

Что требует программа
Программа экзамена за гимназию требует по этой теме: окружность и круг, их элементы, внутреннюю и внешнюю области, число $\pi$ ; взаимное расположение прямой и окружности; центральный угол, вписанный угол и дугу; касательную и её свойства; свойство хорд, одинаково удалённых от центра.

Окружность, круг и их элементы
Окружность $C(O,r)$ с центром $O$ и радиусом $r$ состоит из всех точек плоскости, удалённых от $O$ ровно на $r$ . Точка $M$ лежит во внутренней области, если $OM<r$ , и во внешней, если $OM>r$ . Окружность вместе с внутренней областью образует круг: $OM\le r$ .

радиус соединяет центр с точкой окружности;
хорда соединяет две точки окружности;
диаметр — хорда, проходящая через центр.

Все точки окружности удалены от $O$ на $r$ , поэтому $OA=OB=r$ для любых двух её точек $A$ и $B$ . Если не диаметр, у треугольника две равные стороны: он равнобедренный.

Число $\pi$ и длина окружности
Отношение длины любой окружности к её диаметру — одно и то же число, оно обозначается $\pi$ . Это число иррациональное: $\pi=3{,}1415\ldots$ Длина окружности: $L=\pi d$ , а через радиус $R$ — Если в условии просят ответ через число остаётся в ответе без округления. Длина окружности и площадь круга указаны в программе и в теме «Площади».

Прямая и окружность
Пусть $d$ — расстояние от центра окружности радиуса $r$ до прямой:

Соотношение	Прямая называется
$d>r$	внешней по отношению к окружности
$d=r$	касательной; $M$ — точка касания
$d<r$

Касательная и её свойства

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Верно и обратное: если прямая перпендикулярна радиусу $OM$ в точке $M$ окружности, она касается окружности в $M$ .
Через каждую точку окружности проходит только одна касательная.
Если из внешней точки $P$ проведены касательные $PA$ и $PB$ ( и — точки касания), отрезки и конгруэнтны.

В задачах касательная даёт прямой угол: треугольник $OAP$ прямоугольный с прямым углом при $A$ , значит, работают теорема Пифагора и сумма углов треугольника.

Хорды

Если диаметр проходит через середину хорды, не являющейся диаметром, он перпендикулярен этой хорде. Расстояние от центра до хорды — длина перпендикуляра, проведённого из центра к хорде, поэтому его находят из прямоугольного треугольника, где радиус — гипотенуза.
Конгруэнтные хорды равноудалены от центра, и наоборот: хорды, равноудалённые от центра, конгруэнтны.
Конгруэнтные хорды стягивают конгруэнтные дуги.

Центральный угол, дуга, вписанный угол
У центрального угла вершина в центре окружности. Пересечение окружности с его внутренней областью — меньшая дуга, пересечение с внешней областью — большая дуга; вместе они называются дополнительными дугами. Градусная мера меньшей дуги равна мере центрального угла, а мера большей дуги — $360^\circ$ минус мера дополнительной, то есть меньшей дуги. Полуокружность равна $180^\circ$ .

У вписанного угла вершина лежит на окружности, а стороны пересекают её. Он равен половине дуги, на которую опирается, то есть дуги внутри угла, между его сторонами. Отсюда:

вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, конгруэнтны;
вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

Из этих правил следует: если центральный и вписанный углы опираются на одну и ту же меньшую дугу, центральный угол вдвое больше вписанного.

Следи за дугой, на которую опирается угол: это дуга внутри угла, она не содержит его вершину. Если вершина вписанного угла лежит на меньшей дуге, угол опирается на большую дугу.

Как действовать

1.Проведи радиусы в данные точки окружности: получатся равнобедренные треугольники (если точки не концы одного диаметра).
2.Для касательной отметь радиус в точке касания: это прямой угол.
3.Для диаметра ищи вписанный угол, опирающийся на полуокружность: он тоже прямой.
4.От дуги к углу переходи делением пополам или удвоением, смотря по тому, вписанный это угол или центральный.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: EducatieOnlineRu · YouTube

О чём: Повторение темы в начале X класса: окружность и её элементы, расположение прямой и окружности, свойство касательной, центральные и вписанные углы, дуги и их свойства (примерно до 15-й минуты). Около 10:05 учитель оговаривается («центральный угол равен половине вписанного») и тут же возвращается к верному соотношению: мера дуги вдвое больше вписанного угла. Со второй половины — метрические соотношения в окружности (произведения отрезков хорд и секущих), которых в программе по этой теме нет.

Канал: EducatieOnlineRu · YouTube

О чём: Урок для VI класса: определение окружности, центр, радиус, хорда, диаметр, внутренняя и внешняя области, задачи на положение точек относительно окружности.

Канал: Educație Online RO · YouTube

О чём: Урок на румынском языке: касательная к окружности, её перпендикулярность радиусу в точке касания и обратное свойство, касательные из внешней точки, задачи с теоремой Пифагора.

Окружность. Круг: касательная, центральный и вписанный углы, хорды

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу