Ce cere programa
Tema duce numerele întregi de la definiție până la calcul: mulțimea Z, axa, opusul și modulul, compararea, cele patru operații cu proprietățile lor, factorul comun, puterea cu exponent natural și ordinea operațiilor cu paranteze. Împărțirea se cere doar când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului, adică atunci când câtul iese tot un număr întreg.
Mulțimea numerelor întregi
În mulțimea Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} intră trei feluri de numere: cele negative, zero și cele pozitive. Zero nu este nici pozitiv, nici negativ. Plusul din fața unui număr pozitiv poate lipsi: +7 se scrie simplu 7. Prin Z∗ se notează numerele întregi nenule, adică fără zero.
Axa, opusul, modulul
Axa numerelor este o dreaptă pe care s-au fixat originea, sensul pozitiv și segmentul-unitate; numerele negative stau la stânga originii. Numerele a și −a se numesc opuse: diferă doar prin semn. Opusul lui 0 este 0, iar opusul unui număr negativ este pozitiv: −(−5)=5.
Modulul ∣a∣, numit și valoare absolută, arată cât de departe stă punctul a față de origine. O distanță nu poate fi negativă, deci nici modulul:
- ∣a∣=a, dacă a>0;
- ∣a∣=0, dacă a=0;
- ∣a∣=−a, dacă de exemplu
Două numere opuse au același modul: ∣−a∣=∣a∣.
Compararea
Pe axă este mai mare numărul aflat mai la dreapta. Toate numerele negative sunt mai mici ca 0, iar toate cele pozitive sunt mai mari ca 0. Dintre două numere pozitive este mai mare cel cu modulul mai mare, dar dintre două numere negative mai mare este cel cu modulul mai mic: −4>−9.
Adunarea și scăderea
- Același semn: aduni modulele și păstrezi semnul comun: −3+(−1)=−4.
- Semne diferite: scazi modulele, mare minus mic, iar rezultatul primește semnul termenului care are modulul mai mare: 2+(−9)=−7.
- Două numere opuse dau suma zero: a+(−a)=0.
Adunarea este comutativă și asociativă, iar 0 este elementul ei neutru. Scăderea se reduce la adunare cu opusul scăzătorului: a−b=a+(−b), deci 6−11=6+(−11)=−5 și 8−(−5)=8+5=13.
Înmulțirea și împărțirea
Înmulțești sau împarți modulele, apoi pui semnul după tabel:
| Factorii (deîmpărțitul și împărțitorul) | Rezultatul |
|---|
| de același semn | pozitiv |
| de semne diferite | negativ |
Exemple: −7⋅8=−56, −6⋅(−4)=24, −18:(−6)=3, 24:(−4)=−6. Modulul câtului este câtul modulelor. Înmulțirea cu lasă numărul neschimbat, înmulțirea cu dă opusul lui, iar înmulțirea cu dă Zero împărțit la un număr nenul dă împărțirea la nu are sens.
Înmulțirea este comutativă, asociativă, are elementul neutru 1 și se desface peste o sumă sau o diferență (distributivitatea): a(b±c)=ab±ac. Citită de la dreapta la stânga, aceeași egalitate este regula scoaterii factorului comun: 7⋅(−13)+7⋅3=7⋅(−13+3)=7⋅(−10)=−70.
Puterea cu exponent natural
an este produsul a n factori egali cu a; a se numește baza puterii, n exponentul. a1=a, iar a0=1 pentru nu are sens. La o bază negativă semnul depinde de exponent: dacă este par și dacă este impar, de exemplu Pentru și exponenți naturali se folosesc aceleași reguli ca la numerele naturale:
- am⋅an=am+n
- am:an=am−n, pentru
Ordinea operațiilor
Operațiile se împart în trei trepte: ordinul I — adunarea și scăderea; ordinul II — înmulțirea și împărțirea; ordinul III — ridicarea la putere. Fără paranteze începi cu treapta cea mai înaltă, III, continui cu II și termini cu I; mai multe operații din aceeași treaptă le iei de la stânga la dreapta. Dacă sunt paranteze, ele se calculează primele: întâi cele rotunde, apoi cele drepte (pătrate), apoi acoladele.
Atenție la minusul din fața unei puteri. Manualul calculează 45+2⋅3−142=−145: puterea se face prima și privește doar numărul 14, iar minusul rămâne operația de scădere.
