Математика, IX класс · Числовые множества · Множество натуральных чисел

Делимость, НОД, НОК и степень с натуральным показателем

Делители и кратные, признаки делимости, простые числа, НОД, НОК и правила действий со степенями с натуральным показателем. Здесь определения и алгоритмы из учебников V и VI классов.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что требует программа

Множество натуральных чисел - Делитель. Множество делителей натурального числа. - Кратное. Множество кратных натурального числа. - Множество натуральных чисел (ℕ, ℕ*). - Простые и составные числа. - Признаки делимости на 2, 3, 5, 9,10. Чётные и нечётные числа. - Разложение натуральных чисел в виде произведения степеней простых множителей. - Общий делитель двух натуральных чисел. НОД двух натуральных чисел. Взаимопростые числа. - Общие кратные двух натуральных чисел. НОК двух натуральных чисел. - Степень с натуральным показателем. Свойства степени с натуральным показателем: произведение двух степеней с одинаковыми основаниями, степень произведения, частное двух степеней с одинаковыми основаниями, степень степени, a⁰, 1ⁿ.

Что нужно знать

Что требует программа
Тема объединяет два раздела V и VI классов: делимость натуральных чисел и степень с натуральным показателем. Программа экзамена за гимназию требует здесь делители и кратные, признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК двух чисел и правила действий со степенями.

Натуральные числа
$N = {0; 1; 2; 3; \dots}$ , а $N^{*} = {1; 2; 3; \dots}$ — натуральные числа без нуля.

Делитель и кратное
Число $a$ делится на $b$ , если найдётся натуральное $c$ , для которого $a = b \cdot c$ . Тогда $b$ — делитель числа $a$ , пишут $b ∣ a$ , а $a$ кратно пишут

Делители ненулевого числа $n$ образуют конечное множество $D_{n}$ : $D_{12} = {1; 2; 3; 4; 6; 12}$ .
Кратные ненулевого числа $n$ образуют бесконечное множество Так как ноль входит в при любом

Признаки делимости

Делится на	Когда
$2$	последняя цифра $0$ , $2$ , $4$ , $6$ или $8$
$5$	последняя цифра $0$ или $5$
$10$	последняя цифра $0$

Числа, которые делятся на $2$ , чётные, остальные нечётные. Для $3$ и $9$ последняя цифра ничего не решает: число, кратное $3$ , может оканчиваться любой цифрой, поэтому складывай цифры.

Простые и составные числа
У простого числа ровно два делителя, $1$ и само число: $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ … У составного делителей больше двух. У числа $1$ делитель один, поэтому оно ни простое, ни составное, а самое маленькое простое число — $2$ .

Разложение на простые множители
Дели число на самое маленькое простое число, на которое оно делится без остатка, записывай частное под ним и повторяй, пока в частном не останется $1$ . Найденные множители собирают в степени: $300 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ .

НОД и НОК

$(a, b)$ — наибольшее натуральное число, которое делит оба числа. Раскладываешь числа и перемножаешь общие простые множители, каждый с наименьшим показателем: $450 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ , $1050 = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7$ , значит,

Степень с натуральным показателем
$a^{n} = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ — произведение $n$ одинаковых множителей ( $n > 1$ ); $a$ — основание, $n$ — показатель. Кроме того, при а не имеет смысла. В выражении без скобок степень вычисляют раньше умножения:

Правила действий со степенями

Правило	Формула
произведение степеней с одинаковыми основаниями	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
частное степеней с одинаковыми основаниями	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ ,

Первые два правила требуют одинаковых оснований. Если основания разные, но это степени одного простого числа, сначала приведи их к общему основанию по правилу степени степени: $9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ . Так разложение на простые множители помогает и в вычислениях со степенями.

Делимость, НОД, НОК и степень с натуральным показателем

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу