Ce cere programa
La examenul de gimnaziu tema cuprinde noțiunea de ecuație, de soluție și de mulțime a soluțiilor, ecuațiile echivalente și transformările echivalente, ecuația ax+b=0 cu a=0 și ecuațiile care se reduc la ea, plus problemele, inclusiv cele cu conținut practic, rezolvate cu ajutorul ecuațiilor. Curriculumul o așază în clasa a VII-a, în modulul «Ecuații. Inecuații». În clasa a VIII-a ea revine ca recapitulare și completări, iar în manualul de clasa a IX-a deschide capitolul despre ecuații, tot ca recapitulare.
Ecuație, soluție, mulțimea soluțiilor
O ecuație cu o necunoscută este o egalitate A(x)=B(x) între expresii care conțin necunoscuta x. Soluția este un număr care, pus în locul lui x, face din ecuație o egalitate adevărată. A rezolva ecuația înseamnă a afla toate soluțiile ei, adică mulțimea soluțiilor, notată de obicei cu S. O ecuație poate să nu aibă soluții, poate avea un număr finit de soluții sau o infinitate.
Dacă te întrebi dacă un număr este soluție, îl înlocuiești în ambii membri: pentru 3x+5=2(2x+3) și x=−1 obții 2=2, o propoziție adevărată, deci −1 este soluție.
Ecuații echivalente și transformări echivalente
Două ecuații cu aceeași necunoscută sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții; între ele se scrie semnul ⇔. Ca s-o rezolvi, înlocuiești ecuația, pas cu pas, cu una echivalentă mai simplă, până când soluția se vede direct. Transformările care păstrează mulțimea soluțiilor se numesc transformări echivalente:
- treci un termen dintr-un membru în celălalt, schimbându-i semnul;
- reduci termenii asemenea în fiecare membru;
- înmulțești sau împarți ambii membri cu același număr real nenul.
Exemplul din manual: 5−x=2x+14⇔−2x−x=−5+14⇔−3x=9⇔x=−3.
Domeniul valorilor admisibile
DVA cuprinde toate valorile lui x pentru care fiecare expresie din ecuație se poate calcula. Soluțiile se caută numai în DVA, iar rezolvarea începe, de regulă, cu aflarea lui. Un număr care anulează un numitor cu x nu poate fi soluție: pentru x=2 expresia x−2x nu are sens. De aceea, când x apare la numitor, la final verifici că valoarea găsită aparține DVA.
Ecuația de gradul I
Forma generală este ax+b=0, unde a,b∈R și a=0. Numărul a este coeficientul necunoscutei, iar b este termenul liber. În manualul de clasa a IX-a, și sunt numiți împreună coeficienții ecuației. O astfel de ecuație are o singură soluție, deci
Când coeficientul lui x devine zero
Uneori, după reducerea termenilor, rămâne 0⋅x+b=0. Aceasta nu mai este o ecuație de gradul I, iar rezultatul depinde de b:
| Ce rămâne | Mulțimea soluțiilor |
|---|
| 0⋅x+b=0, cu b=0 | S=R |
| 0⋅x+b=0, cu |
În manual, −3(x−1)+5x−4=2x se reduce la 0⋅x=1, deci ecuația nu are soluții.
Ecuații reductibile la gradul I
Multe ecuații nu au de la început forma ax+b=0, dar ajung la ea prin transformări echivalente: desfaci parantezele, înmulțești ambii membri cu numitorul comun, treci termenii și îi reduci. Uneori termenii cu x2 se reduc: x2−2x+3=x(x+2)−5 devine deci
A doua cale este substituția. În x+32x=x+35x−9, cu DVA R∖{−3}, notezi și obții cu soluția Din rezultă care aparține DVA, deci
Probleme rezolvate cu ecuații
Notezi cu o literă o mărime necunoscută, exprimi prin ea celelalte mărimi și scrii egalitatea din condiție. Ecuația obținută este modelul matematic al problemei. Două modele din manuale:
- câțiva pisoi au cu 10 labe mai multe decât urechi: cu x pisoi sunt 4x labe și 2x urechi, iar modelul este 2x+10=4x;
- cu formula tF=1,8tC+32, temperatura de °F dă ecuația adică ecuația de gradul I
Necunoscuta nu trebuie să fie neapărat mărimea cerută, iar o problemă poate avea mai multe modele: în problema cu veverița din manualul de clasa a VII-a, o rezolvare notează cu x distanța cerută, alta notează cu y timpul de drum până la nuc și află distanța abia la sfârșit.
Curriculumul cere, după rezolvare, și interpretarea rezultatului: verifici dacă el are sens în problemă.
