Inecuații de gradul I și sisteme de inecuații: intervale, rezolvare
Inecuațiile de gradul I cu o necunoscută și sistemele lor: proprietățile inegalităților, intervalele, reuniunea și intersecția lor. Aici ai regulile din manuale, cazurile de rezolvare și cum scrii răspunsul ca interval.
Domeniul ECUAŢII, INECUAŢII, SISTEME DE ECUAŢII, SISTEME DE INECUAŢII
- Inegalități numerice. Proprietăți.
- Intervale de numere reale. Reprezentarea lor pe axă. Operații cu intervale (reuniunea, intersecția).
- Noțiunea de inecuație cu o necunoscută. Inecuații echivalente.
- Inecuații de gradul I de tipul: ax + b < 0; ax + b ≤ 0; ax + b > 0; ax + b ≥ 0, a ≠ 0, a, b ∈ ℝ și reductibile la acestea. Mulțimea soluțiilor inecuației de gradul I și reprezentarea ei pe axă.
- Noțiunea de sistem de inecuații de gradul I cu o necunoscută.
- Rezolvarea sistemelor de inecuații de gradul I cu o necunoscută.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1156 din 24.11.2022.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Tema adună patru lucruri: proprietățile inegalităților numerice, intervalele de numere reale cu reuniunea și intersecția lor, inecuațiile de gradul I cu o necunoscută și sistemele formate din astfel de inecuații.
Inegalități numerice Fie a>b. Trei reguli îți ajung pentru tot restul temei:
adunarea aceluiași număr nu schimbă semnul: a+c>b+c;
înmulțirea sau împărțirea cu c>0 nu schimbă semnul: ac>bc,ca>cb;
înmulțirea sau împărțirea cu c<0 îl întoarce: ac<bc,ca<cb.
Intervale Răspunsul unei inecuații de gradul I este un interval. Paranteza pătrată spune că numărul de la capăt intră în mulțime, cea rotundă că nu intră. Pe axă capătul inclus se desenează ca un cerculeț colorat, cel exclus ca un cerculeț necolorat, iar lângă ∞ paranteza e mereu rotundă.
Condiția
Intervalul
a≤x≤b
[a;b]
a≤x<b
[a;b)
a<x<b
Reuniune și intersecție Reuniunea A∪B cuprinde numerele aflate în măcar unul dintre intervale, iar intersecția A∩B doar numerele pe care le au amândouă. Desenează ambele intervale pe aceeași axă: reuniunea e tot ce e hașurat măcar o dată, [−3;8]∪[0;12)=[−3;12), iar intersecția e porțiunea hașurată de două ori, (−6;8]∩[−9;−3)=(−6;−3).
Inecuația și soluțiile ei Un număr este soluție dacă, pus în locul lui x, dă o inegalitate adevărată. A rezolva inecuația înseamnă a găsi mulțimea S a tuturor soluțiilor. Două inecuații cu aceeași mulțime de soluții sunt echivalente și se leagă prin ⇔.
Transformările echivalente Le aplici exact ca la inegalitățile numerice. Poți trece un număr în celălalt membru cu semn schimbat, fiindcă asta înseamnă să aduni același număr în ambii membri, iar sensul rămâne: 2x+5>7⇔2x>7−5. Termenii cu x se mută la fel, cu semn schimbat: în manual, 200+10x<50+15x devine unde membrii au fost și inversați, de aceea semnul e întors. Împărțirea la un număr pozitiv păstrează sensul. Împărțirea la un număr negativ îl întoarce:
Inecuația de gradul I Are una dintre formele ax+b<0,ax+b>0,ax+b≤0,ax+b≥0, cu O aduci la (sau cu alt semn) și împarți la
a>0:x≥−ab, deci S=[−ab;+∞);
Dacă după desfacerea parantezelor termenii cu x se reduc, rămâne o inegalitate fără necunoscută. Când ea e adevărată, ca 0⋅x<10, orice număr real e soluție și S=R. Când e falsă, ca 0⋅x>11, inecuația nu are soluții și S=∅.
Aceeași inecuație se poate citi ca semn al unei funcții: 2x+8<0 înseamnă că f(x)=2x+8 e negativă, adică x e la stânga zeroului −4.
Sisteme de inecuații Un număr e soluție a sistemului numai dacă verifică fiecare inecuație. Rezolvi fiecare inecuație separat, apoi iei intersecția mulțimilor lor de soluții. Exemplu: din 3(x−1)≤2(x+2) și 2x−1>5 rezultă x≤7 și x>3, deci Dacă intervalele nu au nimic comun, ca la și sistemul nu are soluții.
O inecuație dublă este un sistem scris pe un rând: −2<2x+1<5 înseamnă 2x+1>−2 și 2x+1<5, deci S=(−1,5;2).
Probleme cu text Când necunoscuta numără obiecte, răspunsul trebuie căutat în N, nu în tot intervalul. Din x>30 cel mai mic număr natural potrivit este 31, iar un sistem care dă 88<x<90 lasă un singur număr natural, 89.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Primele zece minute sunt tema: intervalele și reprezentarea lor pe axă, soluția inecuației și inecuațiile echivalente, inecuația de gradul I cu cazurile coeficientului pozitiv și negativ, transformările echivalente și soluțiile comune a două inecuații. Între minutele 10 și 13 urmează inecuații cu modul, pe care programa examenului nu le numește, apoi (13–15) rezolvarea prin semnul funcției; ultimele minute, cu două module și cu parametru, depășesc programa.
Ce acoperă: Sistemele de inecuații: forma generală, mulțimea soluțiilor ca intersecție, un sistem cu fracții, domeniul unei expresii cu radicali și o problemă cu autobuzul rezolvată prin sistem (până la minutul 9). De la minutul 9 urmează sisteme cu parametru și o condiție cu discriminantul, care depășesc tema.
Ce acoperă: Fragmentul de la minutul 39, aproximativ opt minute, din pregătirea pentru examenul de clasa a IX-a: cum se citesc „negativ”, „nenegativ”, „nu mai mare decât”, ce paranteză se pune la capete și doi itemi de tipul celui de la poziția 9, rezolvați cu schimbarea semnului la împărțirea la un număr negativ.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
16 cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
