Что требует программа
На экзамене за гимназию тема включает понятие уравнения, его решения и множества решений, равносильные уравнения и равносильные преобразования, уравнение ax+b=0 при a=0 и уравнения, которые к нему приводятся, а также задачи, в том числе с практическим уклоном, решаемые с помощью уравнений. По куррикулуму тема входит в раздел «Уравнения. Неравенства» VII класса. В VIII классе к ней возвращаются как к повторению и дополнениям, а в учебнике IX класса она открывает главу об уравнениях, тоже как повторение.
Уравнение, решение, множество решений
Уравнение с одним неизвестным — это равенство A(x)=B(x) выражений, содержащих неизвестное x. Решение — число, после подстановки которого вместо x равенство становится верным. Решить уравнение значит найти все его решения, то есть множество решений; его обычно обозначают буквой S. Решений может не быть, их может быть конечное число или бесконечно много.
Чтобы проверить, является ли число решением, подставь его в обе части: для 3x+5=2(2x+3) и x=−1 получается 2=2 — верное равенство, значит, −1 — решение.
Равносильные уравнения и преобразования
Два уравнения равносильны, если множества их решений совпадают; между ними ставят знак ⇔. Уравнение решают цепочкой: каждый шаг даёт равносильное, но более простое уравнение, пока ответ не станет очевиден. Преобразования, которые не меняют множество решений, называются равносильными:
- перенос слагаемого из одной части в другую с противоположным знаком;
- приведение подобных слагаемых в каждой части;
- умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число.
Пример из учебника: 5−x=2x+14⇔−2x−x=−5+14⇔−3x=9⇔x=−3.
Область допустимых значений
ОДЗ — это все значения x, при которых можно вычислить каждое выражение уравнения. Решения ищут только в ОДЗ, и обычно с неё и начинают. Число, обращающее в нуль знаменатель с x, решением быть не может: при x=2 выражение x−2x не имеет смысла. Поэтому, если x стоит в знаменателе, в конце проверяют, входит ли найденное значение в ОДЗ.
Уравнение I степени
Общий вид: ax+b=0, где a,b∈R и a=0. Число a — коэффициент при неизвестном, b — свободный член. В учебнике IX класса числа и вместе называют коэффициентами уравнения. Такое уравнение имеет единственное решение то есть
Когда коэффициент при x обращается в нуль
Бывает, что после приведения подобных остаётся 0⋅x+b=0. Это уже не уравнение I степени, и ответ зависит от b:
| Что осталось | Множество решений |
|---|
| 0⋅x+b=0, где b=0 | S=R |
| 0⋅x+b=0, где |
В учебнике уравнение −3(x−1)+5x−4=2x сводится к 0⋅x=1, поэтому решений у него нет.
Уравнения, приводимые к уравнению I степени
Многие уравнения сначала не похожи на ax+b=0, но приходят к этому виду после равносильных преобразований: раскрой скобки, умножь обе части на общий знаменатель, перенеси слагаемые и приведи подобные. Иногда слагаемые с x2 взаимно уничтожаются: x2−2x+3=x(x+2)−5 превращается в откуда
Второй путь — подстановка. В уравнении x+32x=x+35x−9 с ОДЗ R∖{−3} обозначают и получают откуда Из следует это число входит в ОДЗ, значит,
Задачи на составление уравнений
Буквой обозначают какую-нибудь неизвестную величину, выражают через неё остальные и записывают равенство из условия. Полученное уравнение — математическая модель задачи. Две модели из учебников:
- у нескольких котят лап на 10 больше, чем ушей: у x котят 4x лап и 2x ушей, модель — 2x+10=4x;
- по формуле tF=1,8tC+32 температура °F даёт уравнение то есть уравнение I степени
Неизвестным не обязательно берут искомую величину, и моделей у задачи может быть несколько: в задаче про белку из учебника VII класса в одном решении x — искомое расстояние, в другом y — время пути к орешнику, а расстояние находят в конце.
Куррикулум требует после решения и интерпретации результата: проверь, имеет ли он смысл в задаче.
