Matematica, Clasa a IX-a · Ecuații, inecuații, sisteme de ecuații, sisteme de inecuații · Ecuații de gradul II
Ecuații de gradul II: discriminant, formula soluțiilor, Viète
Ecuația de gradul II cu o necunoscută: formele incomplete, discriminantul, formula soluțiilor, forma redusă și relațiile lui Viète. Aici ai tot ce cere programa la temă, cu regulile din manual și descompunerea în factori.
Ecuații de gradul II
- Noțiune de ecuaţie de gradul II cu o necunoscută.
- Rezolvarea ecuațiilor de gradul II cu o necunoscută, forma completă.
- Rezolvarea ecuațiilor de gradul II, forma redusă.
- Relațiile dintre soluții și coeficienți: teorema lui Viete; reciproca teoremei lui Viete.
- Descompunerea în produs de factori a expresiei de forma ax² + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ ℝ.
- Rezolvarea problemelor prin aplicarea ecuațiilor de gradul II.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1156 din 24.11.2022.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Pe lângă rezolvarea ecuației, programa examenului de gimnaziu cere la această temă teorema lui Viète cu reciproca ei și descompunerea în factori a expresiei ax2+bx+c.
Forma generală O ecuație de gradul II cu o necunoscută are forma ax2+bx+c=0, unde a,b,c sunt numere reale și a=0. Coeficienții au nume: a este primul coeficient, b este coeficientul al doilea, iar c este termenul liber. Coeficientul se citește împreună cu semnul din fața lui, cum arată exemplele din manual: în 5x2−7x−12=0 avem a=5,b=−7,c=−12, iar în 2x2−x=0 avem b=−1 și c=0. Dacă ecuația are paranteze sau termeni în ambii membri, adu-o întâi la această formă.
Formele incomplete Când b=0 sau c=0, ecuația este incompletă. O rezolvi direct, fără formula generală:
Forma
Cum se rezolvă
Mulțimea soluțiilor
ax2+bx=0
x(ax+b)=0
{0;−ab}
Forma completă și discriminantul Pentru ecuația completă calculezi discriminantul Δ=b2−4ac. De semnul lui depinde câte soluții reale are ecuația:
Δ>0: două soluții, x1=2a−b−Δ și
Răspunsul la „rezolvă ecuația” este mulțimea tuturor soluțiilor, notată S, de aceea îl scrii în acolade: S={x1;x2},S={x1} sau
Forma redusă Dacă împarți toți coeficienții la a, obții ecuația echivalentă x2+px+q=0, cu p=ab și ea se numește forma redusă. O poți rezolva cu formula de mai sus, luând Manualele îi dau însă un discriminant propriu, și aici e o capcană: același simbol înseamnă mărimi diferite.
Manualul de clasa a VIII-a: Δ1=p2−4q și x1,2=2−p±Δ1.
Fiecare pereche dă aceleași soluții. Greșeala apare când iei Δ1 dintr-o pereche și formula soluțiilor din alta.
Relațiile lui Viète Soluțiile și coeficienții sunt legați prin două egalități, relațiile lui Viète: x1+x2=−ab și x1⋅x2=ac. La forma redusă ele devin și Cu ele poți afla soluțiile oral, și la forma redusă, și la cea completă, după ce te-ai asigurat că ecuația are soluții: la cauți două numere cu suma și produsul adică și
Reciproca merge în sens invers: două numere reale cu suma −p și produsul q sunt soluțiile ecuației x2+px+q=0. Cu ea compui o ecuație când soluțiile sunt date: pentru 2 și −6 suma este −4, produsul deci și ecuația este
Descompunerea în factori Când cunoști soluțiile x1 și x2, trinomul se scrie ca produs: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2). Formula se aplică atunci când adică atunci când soluțiile reale există. Factorul din față nu se pierde:
Probleme cu text Notezi necunoscuta, scrii ecuația din condiție, o rezolvi și verifici fiecare soluție în raport cu textul. O soluție negativă nu poate fi, de exemplu, numărul membrilor unei familii: ea se respinge, chiar dacă verifică ecuația.
Cum alegi calea Uită-te întâi la forma ecuației. Dacă lipsește b sau c, rezolv-o direct. Dacă a=1 și coeficienții sunt mici, încearcă relațiile lui Viète. În rest, calculează Δ și aplică formula.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Toată tema, recapitulată pentru clasa a IX-a: forma generală, formele incomplete, forma redusă, discriminantul, relațiile lui Viète, compunerea ecuației și, de la minutul 17, descompunerea în factori. Ecuațiile bipătrate (minutele 15–17) și ecuația cu parametru de la final depășesc această temă.
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
ax2+c=0,a⋅c>0
x2=−ac<0
∅
ax2+c=0,a⋅c<0
x2=−ac>0
{−−ac;−ac}
ax2=0
x2=0
{0}
x2=2a−b+Δ
Δ=0: o singură soluție, x=−2ab
Δ<0: nicio soluție reală
S=∅.
q=ac;
a=1,
b=p,
c=q.
Δ1,
Manualul de clasa a IX-a: Δ1=4p2−q și x1,2=−2p±Δ1.
Tot în manualul de clasa a IX-a, pentru ecuația completă cu b=2k par: Δ1=k2−ac și x1,2=a−k±Δ1.
