Ce cere programa
Programa examenului de gimnaziu cere la această temă patru lucruri: noțiunea de ecuație de gradul I cu două necunoscute, noțiunea de sistem de două astfel de ecuații împreună cu transformările echivalente, două metode de rezolvare — reducerea și substituția — și problemele cu text rezolvate prin ecuații sau sisteme. Tema se învață în clasa a VIII-a și se reia în clasa a IX-a. Curriculumul mai adaugă metoda grafică, pe care programa examenului nu o numește, dar care explică de ce un sistem poate avea una, nicio sau o infinitate de soluții.
Ecuația cu două necunoscute
O ecuație de gradul I cu două necunoscute are forma ax+by+c=0, unde a și b sunt numere reale nenule, iar c este real. Soluția ei este o pereche ordonată (x0;y0): puse în locul lui x și y, cele două numere fac din ecuație o propoziție adevărată. Ecuația are o infinitate de soluții, fiindcă poți da lui x orice valoare și afli apoi y. Punctele cu aceste coordonate stau pe o dreaptă, graficul ecuației: pentru ax+by=c este graficul funcției f(x)=−bax+bc.
Sistemul și soluția lui
Două ecuații a1x+b1y+c1=0 și a2x+b2y+c2=0, scrise sub o acoladă, formează un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute. Soluția sistemului este perechea ordonată care verifică ambele ecuații deodată. În problema din manual despre un pian cu 88 de clape, cu 16 clape albe mai multe decât negre, sistemul este iar perechea le verifică pe amândouă. A rezolva sistemul înseamnă a afla mulțimea tuturor soluțiilor, notată
Transformări echivalente
Două sisteme sunt echivalente când au aceeași mulțime de soluții. Rezolvarea trece pas cu pas la sisteme echivalente tot mai simple, folosind patru transformări:
- 1)schimbi ordinea ecuațiilor;
- 2)înlocuiești o ecuație cu alta, echivalentă ei;
- 3)exprimi o necunoscută dintr-o ecuație și pui expresia în cealaltă;
- 4)înlocuiești o ecuație cu suma sau diferența celor două ecuații, înmulțite la nevoie cu numere nenule.
Pe a treia transformare se sprijină metoda substituției, pe a patra — metoda reducerii: acestea sunt cele două metode cerute de programă.
Metoda substituției
Alegi ecuația din care o necunoscută se scoate cel mai ușor, o exprimi și o înlocuiești în cealaltă ecuație. Rămâne o ecuație cu o singură necunoscută. Modelul din manual: în sistemul x+2y=1, 2x−3y=−5 scrii x=1−2y, apoi 2(1−2y)−3y=−5, adică rezultă și
Metoda reducerii
Aduni sau scazi ecuațiile astfel încât una dintre necunoscute să dispară. În sistemul 2x−3y=−1, 4x+3y=25 coeficienții lui y sunt opuși, deci prin adunare rămâne 6x=24: x=4, apoi și Când coeficienții nu sunt opuși, înmulțești întâi o ecuație (sau pe amândouă) cu numere nenule alese astfel încât să devină opuși.
Câte soluții are sistemul
Un sistem fără soluții este incompatibil (S=∅), unul cu o singură soluție este compatibil determinat, iar unul cu o infinitate de soluții este compatibil nedeterminat. Pentru coeficienți a1,a2,b1,b2 nenuli, tipul se citește din rapoarte, fără a rezolva sistemul:
| Rapoartele | Dreptele | Soluții |
|---|
| a2a1=b2b1 |
Coloana din mijloc este metoda grafică: desenezi cele două drepte, iar coordonatele punctului lor de intersecție sunt soluția. Modelul din manual: la 3x+2y=1, 6x+4y=3 avem 63=42=31, deci sistemul este incompatibil.
Probleme cu text
În modelul de test din programă, problema rezolvată cu un sistem valorează 5 puncte: 2 pentru alcătuirea sistemului (câte 1 pentru fiecare ecuație), 2 pentru rezolvarea lui (câte 1 pentru fiecare necunoscută) și 1 pentru răspuns, pe care modelul de barem îl scrie în cuvintele problemei. Lucrează în ordinea din manual:
- 1)stabilește ce se cunoaște și ce se cere;
- 2)notează cu câte o literă fiecare mărime necunoscută;
- 3)scrie relațiile din condiție ca ecuații — aici, două;
- 4)rezolvă sistemul;
- 5)analizează rezultatul, alege soluția și scrie răspunsul.
Dacă itemul nu cere o anumită metodă, orice cale corectă se acceptă, inclusiv o singură ecuație cu o necunoscută. Manualul de clasa a IX-a rezolvă o problemă în ambele feluri: 35 de saci cu făină și zahăr, de 80 kg și de 50 kg, cântăresc împreună 2 t 500 kg; sistemul x+y=35, 8x+5y=250 dă 25 de saci cu făină și 10 cu zahăr.
