Математика, IX класс · Уравнения, неравенства, системы уравнений, системы неравенств · Уравнения II степени
Уравнения II степени: дискриминант, формула решений, теорема Виета
Уравнение II степени с одним неизвестным: неполные уравнения, дискриминант, формула решений, приведённое уравнение и теорема Виета. Здесь всё, что программа требует по теме: правила из учебника и разложение на множители.
Уравнения II степени
- Понятие уравнение II степени с одним неизвестным.
- Решение уравнений II степени с одним неизвестным.
- Формула решения уравнений II степени, общий случай;
- Формула решения приведённых уравнений II степени.
- Отношения между решениями и коэффициентами: теорема Виета; обратная теорема теореме Виета.
- Разложение выражений вида ax² + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ ℝ, на множители.
- Решение задач с применением уравнений II степени.
Что требует программа Кроме решения самого уравнения, программа экзамена за гимназию требует по этой теме теорему Виета с обратной ей теоремой и разложение на множители выражения ax2+bx+c.
Общий вид Уравнение II степени с одним неизвестным имеет вид ax2+bx+c=0, где a,b,c — действительные числа и a=0. У коэффициентов есть названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член. Коэффициент читают вместе со знаком, который стоит перед ним, как в примерах учебника: в уравнении 5x2−7x−12=0a=5,b=−7,c=−12, а в уравнении 2x2−x=0b=−1 и c=0. Если в уравнении есть скобки или слагаемые в обеих частях, сначала приведи его к этому виду.
Неполные уравнения Если b=0 или c=0, уравнение неполное. Его решают сразу, без общей формулы:
Вид
Как решать
Множество решений
ax2+bx=0
x(ax+b)=0
{0;−ab}
Полное уравнение и дискриминант Для полного уравнения находят дискриминант Δ=b2−4ac. От его знака зависит, сколько действительных решений у уравнения:
Δ>0: два решения, x1=2a−b−Δ и
Ответ к «реши уравнение» — множество всех его решений, его обозначают S, поэтому ответ записывают в фигурных скобках: S={x1;x2},S={x1} или
Приведённое уравнение Если разделить все коэффициенты на a, получится равносильное уравнение x2+px+q=0, где p=ab и оно называется приведённым. Его можно решить общей формулой, взяв Но в учебниках у него свой дискриминант и здесь ловушка: один и тот же знак означает разные величины.
Учебник VIII класса: Δ1=p2−4q и x1,2=2−p±Δ1.
Каждая пара даёт одни и те же решения. Ошибка появляется, когда Δ1 берут из одной пары, а формулу решений — из другой.
Теорема Виета Решения и коэффициенты связаны двумя равенствами — соотношениями Виета: x1+x2=−ab и x1⋅x2=ac. Для приведённого уравнения они принимают вид и С их помощью решения можно найти устно, и у приведённого, и у полного уравнения, убедившись сначала, что решения есть: для ищем два числа с суммой и произведением — это и
Обратная теорема работает в другую сторону: два действительных числа с суммой −p и произведением q — решения уравнения x2+px+q=0. По ней составляют уравнение с заданными решениями: для 2 и −6 сумма равна −4, произведение значит, и уравнение
Разложение на множители Когда решения x1 и x2 известны, трёхчлен записывается произведением: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2). Формула применяется при то есть когда действительные решения есть. Множитель впереди не теряется:
Текстовые задачи Обозначь неизвестное, составь уравнение по условию, реши его и проверь каждое решение по смыслу задачи. Отрицательное число, например, не может быть числом членов семьи: такое решение отбрасывают, даже если оно удовлетворяет уравнению.
Как выбрать способ Сначала посмотри на вид уравнения. Если нет b или c, реши его сразу. Если a=1 и коэффициенты небольшие, попробуй теорему Виета. В остальных случаях найди Δ и примени формулу.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Повторение темы в начале X класса: дискриминант и число решений, неполные уравнения, теорема Виета и составление уравнения по его решениям. С 9-й по 11-ю минуту — биквадратные уравнения, это уже следующая тема.
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
ax2+c=0,a⋅c>0
x2=−ac<0
∅
ax2+c=0,a⋅c<0
x2=−ac>0
{−−ac;−ac}
ax2=0
x2=0
{0}
x2=2a−b+Δ
Δ=0: одно решение, x=−2ab
Δ<0: действительных решений нет
S=∅.
q=ac;
a=1,
b=p,
c=q.
Δ1,
Учебник IX класса: Δ1=4p2−q и x1,2=−2p±Δ1.
Там же, для полного уравнения с чётным b=2k:Δ1=k2−ac и x1,2=a−k±Δ1.
