Ce cere programa
La această temă programa examenului de gimnaziu are trei puncte: ecuațiile raționale cu o necunoscută, problemele cu text rezolvate prin ecuații și inecuațiile de gradul II cu o necunoscută. Aproape fiecare rezolvare de aici ajunge, la un moment dat, la o ecuație de gradul II.
Ecuația rațională
O ecuație este rațională când ambii membri sunt expresii raționale: construite din numere și litere doar cu adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Dacă necunoscuta stă și la numitor, manualul o numește ecuație rațională cu necunoscuta la numitor. 2x+x−13x=x+1 este de acest tip; 3x−5=2(1−x) e tot rațională, dar fără necunoscută la numitor.
Întâi DVA
Domeniul valorilor admisibile (DVA) cuprinde toate valorile lui x la care fiecare expresie din ecuație se poate calcula. La o ecuație cu fracții scoți din R valorile care anulează un numitor. Descompune numitorii în factori de la început: din x2−1=(x−1)(x+1) se vede că pleacă −1 și 1.
Algoritmul în șapte pași
- 1)Scrii DVA.
- 2)Treci toți termenii în membrul stâng.
- 3)Aduci membrul stâng, cu numitorul comun, la un singur raport BA.
- 4)Aplici regula egalării cu zero a unui raport: egalezi numărătorul cu zero și păstrezi condiția ca numitorul să nu fie zero, adică A=0 și B=0.
- 5)Rezolvi A=0, de obicei o ecuație de gradul I sau II.
În exemplul din manual x2−12=x−13x−x+11 se ajunge la cu soluțiile și Pentru numitorul devine zero, așa că rămâne Pasul 6 nu se sare: fără el, în răspuns intră o valoare străină.
Necunoscuta auxiliară
Când aceeași fracție se repetă, o notezi cu o literă nouă. În x2−2x+12x2+x−13x−2=0 iei și ajungi la cu sau Revii la rezolvi cele două ecuații simple și verifici DVA:
Probleme cu text
Stabilești ce se cunoaște și ce nu, notezi necunoscuta, scrii ecuația din relațiile din text, o rezolvi, apoi alegi soluția care are sens. La lucrul comun: cine face toată lucrarea în x ore face într-o oră partea x1 din ea. În problema din manual cu două tractoare se obține x12+x−88=1, cu soluțiile și Valoarea se respinge, iar manualul îți cere să argumentezi de ce: timpul celui de-al doilea tractor ar fi ore, ceea ce este imposibil.
Inecuația de gradul II
Are forma ax2+bx+c>0, ≥0, <0 sau ≤0, cu a=0. Un număr este soluție dacă, pus în locul necunoscutei, dă o propoziție adevărată. Pașii:
- 1)aduci inecuația la una dintre aceste forme;
- 2)afli zerourile funcției f(x)=ax2+bx+c, adică soluțiile ecuației ax2+bx+c=0;
De exemplu, x2−x−6>0 are zerourile −2 și 3 și e adevărată pentru x<−2 sau x>3:
Tabelul cazurilor (x1<x2 sunt zerourile)
Așa, −4x2+4x−1≥0 are o singură soluție, x=21. Inecuațiile cu < și le aduci la tabel înmulțind cu la înmulțirea cu un număr negativ sensul inegalității se schimbă.
Metoda intervalelor
Fie f(x)=(x−x1)(x−x2)…(x−xn), cu zerouri distincte. Zerourile împart axa în intervale; în interiorul fiecăruia are același semn, iar când trece printr-un zerou, semnul se inversează. Desenul acestor schimbări se numește curba semnelor. Descompui în factori, marchezi zerourile, afli semnul într-un punct de probă și treci semnele pe celelalte intervale. La zerourile sunt în produsul este deci La și zerourile intră în răspuns cu paranteze drepte: dă
Inecuațiile raționale
Manualul și curriculumul de clasa a IX-a aplică aceeași metodă inecuațiilor de forma Q(x)P(x)>0 (sau ≥0, <0, ≤0). Zerourile numitorului nu intră niciodată în răspuns; zerourile numărătorului intră doar la și Programa examenului numește explicit numai inecuațiile de gradul II.
