Что требует программа
По этой теме программа экзамена за гимназию называет три пункта: рациональные уравнения с одним неизвестным, текстовые задачи, которые решают уравнениями, и неравенства II степени с одним неизвестным. Почти любое решение здесь в какой-то момент приходит к уравнению II степени.
Рациональное уравнение
Уравнение рациональное, если обе его части — рациональные выражения: составлены из чисел и букв только сложением, вычитанием, умножением и делением. Если неизвестное стоит и в знаменателе, учебник называет уравнение дробно-рациональным (рациональным уравнением, содержащим неизвестное в знаменателе). 2x+x−13x=x+1 — дробно-рациональное; 3x−5=2(1−x) тоже рациональное, но неизвестного в знаменателе у него нет.
Сначала ОДЗ
Область допустимых значений (ОДЗ) — это все значения x, при которых каждое выражение уравнения можно вычислить. В уравнении с дробями из R убирают значения, при которых какой-нибудь знаменатель равен нулю. Знаменатели лучше сразу разложить на множители: из x2−1=(x−1)(x+1) видно, что исключаются −1 и 1.
Алгоритм из семи шагов
- 1)Находишь ОДЗ.
- 2)Переносишь все слагаемые в левую часть.
- 3)Через общий знаменатель приводишь левую часть к одной дроби BA.
- 4)Применяешь правило приравнивания к нулю отношения: числитель приравниваешь к нулю и сохраняешь условие, что знаменатель не равен нулю, то есть A=0 и B=0.
- 5)Решаешь — обычно это уравнение I или II степени.
В примере учебника x2−12=x−13x−x+11 получается с решениями и При знаменатель обращается в нуль, поэтому остаётся Шаг 6 не пропускают: без него в ответ попадает посторонний корень.
Вспомогательное неизвестное
Если одна и та же дробь повторяется, её обозначают новой буквой. В x2−2x+12x2+x−13x−2=0 берёшь и получаешь откуда или Возвращаешься к решаешь два простых уравнения и проверяешь ОДЗ:
Текстовые задачи
Выясняешь, что известно и что нет, обозначаешь неизвестное, по условию составляешь уравнение, решаешь его и выбираешь решение, которое имеет смысл. В задачах на совместную работу: кто выполняет всю работу за x часов, за час делает её x1 часть. В задаче учебника о двух трактористах получается x12+x−88=1 с решениями и Значение отбрасывают, и учебник просит обосновать почему: время второго тракториста было бы часа, а это невозможно.
Неравенство II степени
Это неравенство вида ax2+bx+c>0, ≥0, <0 или ≤0, где a=0. Число — решение, если при подстановке вместо неизвестного получается истинное высказывание. Шаги:
- 1)приводишь неравенство к одному из этих видов;
- 2)находишь нули функции f(x)=ax2+bx+c, то есть решения уравнения ax2+bx+c=0;
Например, у x2−x−6>0 нули −2 и 3, и неравенство верно при x<−2 или x>3:
Таблица случаев (x1<x2 — нули)
Так, у −4x2+4x−1≥0 единственное решение x=21. Неравенства со знаками < и сводят к таблице умножением на при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Метод интервалов
Пусть f(x)=(x−x1)(x−x2)…(x−xn) и все нули различны. Нули разбивают ось на интервалы; внутри каждого из них одного знака, а когда проходит через нуль, знак становится противоположным. Рисунок этих смен называют кривой знаков. Раскладываешь на множители, отмечаешь нули, находишь знак в одной пробной точке и расставляешь знаки на остальных интервалах. У нули при произведение равно поэтому При знаках и нули входят в ответ с квадратными скобками: даёт
Дробно-рациональные неравенства
Учебник и куррикулум IX класса применяют тот же метод к неравенствам вида Q(x)P(x)>0 (или ≥0, <0, ≤0). Нули знаменателя в ответ не входят никогда; нули числителя входят только при и Программа экзамена прямо называет только неравенства II степени.
