Ce cere programa
La această temă programa examenului de gimnaziu cere: numerele reale reprezentate prin litere și operațiile cu ele, formulele de calcul prescurtat, descompunerea în factori prin trei metode (factorul comun, gruparea, formulele) și transformările identice ale expresiilor algebrice. După curriculum, formulele cu pătrate apar în clasa a VII-a și se reiau în clasa a VIII-a, unde li se adaugă cele cu cuburi.
Expresii cu litere
Când înmulțești numere și litere, ca în −3ab2, obții o expresie algebrică. Numărul din față este coeficientul (aici −3, un număr real), iar ce rămâne este partea literală (ab2). Doi termeni care diferă doar prin coeficient, ca −3ab2 și −1,5ab2, sunt termeni asemenea; îi reduci adunând coeficienții: −3ab2−1,5ab2=−4,5ab2.
- La înmulțire și împărțire lucrezi separat: coeficienții între ei, părțile literale după proprietățile puterii.
- La ridicarea la putere ridici coeficientul și fiecare literă: (−2a2b)3=−8a6b3.
- Parantezele se desfac prin distributivitate: a(b+c)=ab+ac și
Cele șapte formule
| Denumirea | Formula |
|---|
| Pătratul sumei | (a+b)2=a2+2ab+b2 |
| Pătratul diferenței | (a−b)2=a2−2ab+b2 |
Formulele merg și când în locul lui a și b stau expresii: (2x3+y2)2=4x6+4x3y2+y4. Fiind identități, ele se citesc în ambele sensuri. Dinspre forma cu paranteze spre cea fără paranteze desfaci parantezele; în sens invers scrii expresia ca produs. Atenție la tabel: la primele cinci rânduri forma cu paranteze este în stânga, iar la suma și diferența cuburilor este în dreapta. La pătrat ordinea termenilor nu contează:
Descompunerea în factori
Descompunerea în factori transformă expresia într-un produs. Programa cere trei metode.
- 1)Factorul comun. Iei c.m.m.d.c. al coeficienților și fiecare literă comună la cel mai mic exponent. La 8x2y3−12xy5 factorul comun este 4xy3, iar în paranteză rămâne câtul fiecărui termen la el: 4xy3(2x−3y2).
Metodele se combină. După ce scoți factorul comun, verifici dacă paranteza mai poate fi descompusă: 2a3−18a=2a(a2−9)=2a(a−3)(a+3). Un trinom de gradul II cu se poate scrie și ca asta ține de tema ecuațiilor de gradul II.
Identități și transformări identice
O egalitate de expresii care rămâne adevărată oricum ai alege valorile literelor, cât timp expresiile au sens, este o identitate; formulele de mai sus sunt identități. Când înlocuiești o expresie cu una identică ei, faci o transformare identică: desfaci paranteze, reduci termeni asemenea, descompui în factori. Ca să arăți că o egalitate nu este identitate, ajunge un singur contraexemplu: 5(x+y)=5x+y cade pentru x=1, y=1.
Cum alegi calea
Un obicei care ajută, nu o regulă. Verifici întâi dacă există un factor comun și îl scoți. Apoi numeri termenii. Doi termeni: diferența pătratelor sau suma ori diferența cuburilor. Trei termeni: pătratul unei sume sau al unei diferențe, dacă termenul din mijloc este dublul produsului; altfel trinomul de gradul II, prin soluțiile ecuației. Patru termeni: cubul unei sume sau al unei diferențe, dacă se potrivește, altfel gruparea. La sfârșit verifici fiecare factor: poate se mai descompune.
