Что требует программа
По этой теме программа экзамена за гимназию требует: действительные числа, представленные буквами, и действия с ними, формулы сокращённого умножения, разложение на множители тремя способами (общий множитель, группировка, формулы) и тождественные преобразования алгебраических выражений. По куррикулуму формулы с квадратами появляются в VII классе и повторяются в VIII, где к ним добавляются формулы с кубами.
Выражения с буквами
Если перемножить числа и буквы, как в −3ab2, получится алгебраическое выражение. Число впереди — коэффициент (здесь −3, действительное число), остальное — буквенная часть (ab2). Два слагаемых, которые отличаются только коэффициентом, как −3ab2 и −1,5ab2, подобные; их приводят, складывая коэффициенты: −3ab2−1,5ab2=−4,5ab2.
- При умножении и делении работаешь раздельно: коэффициенты между собой, буквенные части по свойствам степени.
- При возведении в степень возводишь коэффициент и каждую букву: (−2a2b)3=−8a6b3.
- Скобки раскрываются по дистрибутивности: a(b+c)=ab+ac и
Семь формул
| Название | Формула |
|---|
| Квадрат суммы | (a+b)2=a2+2ab+b2 |
| Квадрат разности | (a−b)2=a2−2ab+b2 |
Формулы работают и тогда, когда вместо a и b стоят выражения: (2x3+y2)2=4x6+4x3y2+y4. Это тождества, поэтому их читают в обе стороны. От записи со скобками к записи без скобок ты раскрываешь скобки; в обратную сторону записываешь выражение в виде произведения. Посмотри на таблицу: в первых пяти строках запись со скобками стоит слева, а у суммы и разности кубов — справа. В квадрате порядок слагаемых не важен:
Разложение на множители
Разложение на множители превращает выражение в произведение. Программа требует трёх способов.
- 1)Общий множитель. Берёшь НОД коэффициентов и каждую общую букву в наименьшей степени. У 8x2y3−12xy5 общий множитель 4xy3, а в скобках остаётся частное от деления каждого слагаемого на него: 4xy3(2x−3y2).
Способы сочетаются. Вынеся общий множитель, проверяешь, не раскладывается ли скобка дальше: 2a3−18a=2a(a2−9)=2a(a−3)(a+3). Трёхчлен второй степени при можно записать и как это относится к теме уравнений второй степени.
Тождества и тождественные преобразования
Равенство выражений, которое остаётся верным при любых значениях букв, лишь бы выражения имели смысл, — тождество; все формулы выше — тождества. Когда заменяешь выражение тождественно равным ему, выполняешь тождественное преобразование: раскрываешь скобки, приводишь подобные слагаемые, раскладываешь на множители. Чтобы показать, что равенство не тождество, достаточно одного контрпримера: 5(x+y)=5x+y неверно при x=1, y=1.
Как выбрать способ
Это привычка, которая помогает, а не правило. Сначала проверь, есть ли общий множитель, и вынеси его. Потом посчитай слагаемые. Два: разность квадратов или сумма либо разность кубов. Три: квадрат суммы или разности, если среднее слагаемое — удвоенное произведение; иначе трёхчлен второй степени через корни уравнения. Четыре: куб суммы или разности, если подходит, иначе группировка. В конце проверь каждый множитель: может быть, он раскладывается дальше.
