Rapoarte algebrice și identități: DVA, simplificare, operații
Raportul algebric la examenul de gimnaziu: DVA, amplificarea și simplificarea, cele patru operații și demonstrarea identităților. Aici ai regulile din manualul de clasa a IX-a, cu exemple și capcanele de la DVA.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1156 din 24.11.2022.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Tema se studiază în clasa a IX-a. Programa examenului o împarte în șase puncte: noțiunea de raport algebric și DVA, amplificarea și simplificarea, operațiile aritmetice, identitatea și expresiile identic egale, transformările identice și demonstrarea unor identități simple.
Raportul algebric Dacă într-o expresie nicio variabilă nu apare sub radical, expresia e rațională. Împarți o asemenea expresie la alta și obții un raport algebric, pe care manualul îl mai numește fracție algebrică. De exemplu, x2−1x+5 e raport algebric, iar x−12 nu e, pentru că x apare sub radical.
Domeniul valorilor admisibile (DVA) Cu zero nu se împarte, așa că orice raport are sens doar acolo unde numitorul nu se anulează. Mulțimea acestor valori este DVA. Ca să-l afli, egalezi numitorul cu zero, rezolvi ecuația și scoți soluțiile ei din R:
2−aa2−2: din 2−a=0 iese a=2, deci DVA
Valoarea raportului F(x) pentru x=a, notată F(a), se calculează numai când a este în DVA.
Amplificare și simplificare
Amplifici când înmulțești numărătorul și numitorul cu aceeași expresie rațională nenulă. Așa aduci rapoartele la un numitor comun.
Simplifici când împarți numărătorul și numitorul, fără rest, la aceeași expresie nenulă. Întâi descompui ambii termeni în factori, apoi împarți la factorul comun.
Rezultatul este egal cu raportul inițial pe DVA comun al celor două. DVA însă se poate schimba: x2+xx2+2x+1=x(x+1)(x+1)2=xx+1, iar valoarea interzisă la început, nu mai anulează numitorul final. Ea rămâne totuși exclusă, pentru că expresia de la care ai pornit nu are sens în
Un raport care se mai poate simplifica este reductibil, unul care nu se mai poate este ireductibil: x2−4x(x−2) este reductibil, x+2x este ireductibil.
Operațiile
Operația
Cum se face
adunare, același numitor
ca+cb=ca+b
La sfârșit simplifici rezultatul până devine ireductibil. Adunarea și înmulțirea rapoartelor au aceleași proprietăți ca la numerele reale: comutativitate, asociativitate, distributivitate.
Împărțirea schimbă DVA Când împarți, împărțitorul se întoarce: inversul lui xx−1 este x−1x. Numărătorul împărțitorului ajunge astfel la numitor, deci din DVA scoți și valorile care îl anulează. Un exemplu din programă: expresia (x+21+x2−4x2+2):x2−4x+1 este considerată pe Valorile anulează numitorii, iar anulează numărătorul al împărțitorului.
Identitatea Dacă două expresii în aceleași variabile dau mereu aceeași valoare acolo unde amândouă au sens (pe DVA comun), ele sunt identic egale, iar egalitatea lor este o identitate. Înlocuirea unei expresii cu una identic egală se numește transformare identică. O identitate are domeniul ei:
x+51−x=x2+5xx−x2 este identitate pe nu pe
Cum demonstrezi o identitate
1)Transformi membrul stâng până obții membrul drept.
2)Transformi membrul drept până obții membrul stâng.
3)Transformi ambii membri până ajung la aceeași expresie.
4)Scazi un membru din celălalt și arăți că diferența este zero.
Scrie întâi DVA, apoi fă numai transformări identice. Când enunțul spune „Arătați că E(x)=… pentru orice x din…”, ai de demonstrat o identitate pe mulțimea dată.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Prima lecție a modulului de clasa a IX-a: definiția raportului algebric, calculul valorii lui pentru valori date, aflarea DVA (și cazul în care numitorul nu se anulează niciodată), o simplificare după descompunere și, la final, două demonstrații: o expresie cu valoare constantă și una cu valori întregi.
Ce acoperă: Regulile adunării, scăderii, înmulțirii, împărțirii și ridicării la putere, cu exemple pe numitor comun, apoi definiția expresiilor identic egale și a identității pe DVA. Ultimele minute rezolvă ecuații cu două rapoarte egale, care țin deja de ecuațiile raționale.
Ce acoperă: Lecția de încheiere a modulului, despre ultimul punct al programei: în primele trei minute, două identități cu rapoarte demonstrate prin transformarea membrului stâng, a doua fiind exemplul din programă; apoi expresii identic egale cu radicali și, la final, o problemă despre un triunghi, care țin de alte teme.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
16 cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
=R∖{2};
x2+5xx−x2:x2+5x=x(x+5) se anulează în 0 și −5, deci DVA =R∖{−5;0}.
−1,
−1.
adunare, numitori diferiți
aduci la același numitor, apoi aduni numărătorii
scădere
aduni descăzutul cu opusul scăzătorului
înmulțire
ba⋅dc=bdac
împărțire
ba:dc=ba⋅cd
putere
(ba)n=bnan
R∖{−2;−1;2}.
±2
−1
x+1
R∖{−5;0},
R;
(x−1)2−(x+1)2−4=x2−(x+2)2 este identitate pe tot R: ambii membri dau −4(x+1).
