Математика, IX класс · Уравнения, неравенства, системы уравнений, системы неравенств
Неравенства I степени и системы неравенств: промежутки, решение
Неравенства I степени с одним неизвестным и их системы: свойства неравенств, числовые промежутки, объединение и пересечение. Здесь правила из учебников, случаи решения и запись ответа промежутком.
Область УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
- Числовые неравенства. Свойства.
- Понятие числовой промежуток. Изображение числовых промежутков на оси. Операции с числовыми промежутками (объединение, пересечение).
- Понятие неравенство с одним неизвестным. Равносильные неравенства.
- Неравенства I степени типа: ax + b < 0; ax + b ≤ 0; ax + b > 0; ax + b ≥ 0, a ≠ 0, a, b ∈ ℝ и приводимые к ним. Множество решений неравенства I степени и его изображение на числовой оси.
- Понятие система неравенств I степени с одним неизвестным.
- Решение систем неравенств I степени с одним неизвестным.
Что требует программа В теме четыре части: свойства числовых неравенств, числовые промежутки с их объединением и пересечением, неравенства I степени с одним неизвестным и системы из таких неравенств.
Свойства числовых неравенств Пусть a>b. На этих трёх правилах держится вся тема:
прибавив к обеим частям одно и то же число, знак сохраняешь: a+c>b+c;
умножив или разделив на c>0, знак тоже сохраняешь: ac>bc,ca>cb;
умножив или разделив на c<0, знак меняешь на противоположный: ac<bc,ca<cb.
Числовые промежутки Ответ неравенства I степени записывают промежутком. Квадратная скобка значит, что конец входит в множество, круглая — что не входит. На оси входящий конец рисуют закрашенным кружочком, невходящий — незакрашенным. У ∞ скобка всегда круглая.
Условие
Промежуток
a≤x≤b
[a;b]
a≤x<b
[a;b)
a<x<b
Объединение и пересечение В объединение A∪B попадают числа, лежащие хотя бы в одном из промежутков, в пересечение A∩B — только числа, общие для обоих. Изобрази оба промежутка на одной оси: объединение — всё, что заштриховано хотя бы один раз, [−3;8]∪[0;12)=[−3;12), пересечение — участок, заштрихованный дважды, (−6;8]∩[−9;−3)=(−6;−3).
Неравенство и его решения Число — решение, если после подстановки вместо x получается верное числовое неравенство. Решить неравенство — найти множество S всех решений. Неравенства с одинаковыми множествами решений называют равносильными и соединяют знаком ⇔.
Равносильные преобразования Это те же свойства, только с неизвестным. Перенос числа в другую часть с противоположным знаком — это прибавление одного и того же числа к обеим частям, и знак не меняется: 2x+5>7⇔2x>7−5. Слагаемые с x переносят так же, с противоположным знаком: в учебнике 200+10x<50+15x превращается в причём части ещё и поменяли местами, поэтому знак перевёрнут. Деление на положительное число знак сохраняет, деление на отрицательное — переворачивает:
Неравенство I степени Его вид: ax+b<0,ax+b>0,ax+b≤0 или ax+b≥0, причём Приводишь его к (или с другим знаком) и делишь на
при a>0 получаешь x≥−ab и S=[−ab;+∞);
Бывает, что после раскрытия скобок слагаемые с x взаимно уничтожаются. Остаётся числовое неравенство. Если оно верное, как 0⋅x<10, то подходит любое число и S=R. Если неверное, как 0⋅x>11, решений нет и S=∅.
То же неравенство можно прочитать как вопрос о знаке функции: 2x+8<0 — это значения x, при которых f(x)=2x+8 отрицательна, то есть левее её нуля −4.
Системы неравенств Число — решение системы, только если оно удовлетворяет каждому неравенству. Поэтому решаешь неравенства по отдельности и берёшь пересечение их множеств решений. Пример: из 3(x−1)≤2(x+2) и 2x−1>5 следует x≤7 и x>3, значит Если общей части нет, как у и система решений не имеет.
Двойное неравенство — это система, записанная в одну строку: −2<2x+1<5 означает 2x+1>−2 и 2x+1<5, откуда S=(−1,5;2).
Текстовые задачи Если неизвестное — количество предметов, ответ ищут в N, а не во всём промежутке. Из x>30 наименьшее подходящее натуральное число — 31, а система, дающая 88<x<90, оставляет одно натуральное число — 89.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Фрагмент с 7:30 до конца, около шести минут, повторение в начале X класса: вид неравенства I степени, решение и равносильные неравенства, правила равносильных преобразований со сменой знака при делении на отрицательное число и два примера, в одном из которых решением служит любое действительное число. Первая половина видео — уравнения I степени, это соседняя тема.
О чём: Системы неравенств I степени: решение системы, множество решений как пересечение, изображение на оси, система без решений и система с числовым неравенством. Рядом с каждой системой разобрана совокупность тех же неравенств (объединение решений) — совокупностей в программе IX класса нет.
О чём: Фрагмент с 50-й минуты, около трёх минут, при подготовке к экзамену IX класса: неравенство со значениями функции I степени, смена знака при делении на минус три, выбор неотрицательных значений x и запись ответа промежутком; в конце — как неравенство появляется при поиске области определения корня.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
16 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
