Ce cere programa
Tema adună geometria triunghiului din clasa a VII-a: bisectoarea unui unghi și mediatoarea unui segment, cu proprietățile lor, cele patru linii importante ale triunghiului, suma unghiurilor și unghiul exterior, triunghiul isoscel și cel echilateral, linia mijlocie și două proprietăți ale triunghiului dreptunghic.
Bisectoarea unghiului și mediatoarea segmentului
- Bisectoarea unui unghi pornește din vârf, merge prin interiorul unghiului și îl taie în două unghiuri congruente. Orice punct al ei se află la aceeași distanță de cele două laturi. Invers, un punct din interiorul unghiului egal depărtat de laturi stă pe bisectoare.
- Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe el, dusă prin mijlocul lui. Un punct este la aceeași distanță de capetele segmentului atunci și numai atunci când se află pe mediatoare.
Patru linii ale triunghiului
Trei dintre ele sunt segmente care pornesc dintr-un vârf; a patra este o dreaptă dusă prin mijlocul unei laturi.
| Linia | Ce este | Unde se întâlnesc cele trei |
|---|
| Mediana | unește vârful cu mijlocul laturii opuse | centrul de greutate G |
| Bisectoarea | merge din vârf până la latura opusă, pe bisectoarea unghiului | un punct egal depărtat de laturi |
| Înălțimea | coboară din vârf perpendicular pe dreapta suport a laturii opuse | ortocentrul H |
| Mediatoarea | mediatoarea unei laturi | un punct egal depărtat de vârfuri |
Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul 2:1, socotind de la vârf: dacă AA1 este mediană, atunci AG=32AA1 și GA1=31AA1. Pentru înălțimi se intersectează dreptele lor suport, iar ortocentrul nu stă mereu în interior: la triunghiul ascuțitunghic este înăuntru, la cel obtuzunghic este în afară, iar la cel dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
Unghiurile triunghiului
Suma unghiurilor oricărui triunghi este 180∘. Unghiul exterior de la un vârf este adiacent cu unghiul triunghiului de acolo și suplementar lui. Măsura lui este suma celor două unghiuri ale triunghiului care nu sunt lângă el: dacă D este pe prelungirea laturii AC dincolo de C, atunci m(∠BCD)=m(∠A)+m(∠B).
Triunghiul isoscel
- Unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
- Din vârful opus bazei, mediana, bisectoarea și înălțimea sunt același segment.
- Medianele duse din vârfurile bazei sunt congruente; la fel bisectoarele și înălțimile duse din aceste vârfuri.
Proprietățile funcționează și invers. Un triunghi este isoscel dacă are două unghiuri congruente sau dacă una dintre liniile sale coincide cu alta dintre ele: o mediană cu o bisectoare, o mediană cu o înălțime sau o bisectoare cu o înălțime.
Triunghiul echilateral
Toate unghiurile lui au 60∘. Din fiecare vârf, mediana, bisectoarea și înălțimea coincid, iar cele trei mediane (bisectoare, înălțimi) au aceeași lungime. Un triunghi isoscel care are un unghi de 60∘ este echilateral.
Linia mijlocie
Segmentul care unește mijloacele a două laturi se numește linie mijlocie. Este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei: dacă M și N sunt mijloacele laturilor AB și BC, atunci MN∥AC și MN=2AC. Reciproc, paralela dusă prin mijlocul unei laturi la o a doua latură taie a treia latură tot în mijloc.
Triunghiul dreptunghic
- Mediana dusă la ipotenuză este jumătate din ipotenuză.
- Cateta opusă unghiului de 30∘ este jumătate din ipotenuză.
Atenție la ce latură se opune unghiului. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30∘, celălalt unghi ascuțit are 60∘, iar catetă egală cu jumătate din ipotenuză este doar cea din fața unghiului de 30∘.
Ce cauți într-o problemă
Un triunghi isoscel cu înălțimea dusă la bază îți dă două triunghiuri dreptunghice congruente și baza tăiată în jumătăți. Mijloacele a două laturi îți cer linia mijlocie, iar un unghi de 30∘ într-un triunghi dreptunghic îți dă o catetă fără calcul.
