Что требует программа
В теме собрана геометрия треугольника из VII класса: биссектриса угла и серединный перпендикуляр к отрезку (в учебнике он называется медиатрисой) со своими свойствами, четыре замечательные линии треугольника, сумма углов и внешний угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, средняя линия и два свойства прямоугольного треугольника.
Биссектриса угла и медиатриса отрезка
- Биссектриса угла выходит из его вершины, идёт внутри угла и делит его на два конгруэнтных угла. Каждая её точка находится на одном и том же расстоянии от обеих сторон угла. Обратно: точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе.
- Медиатриса отрезка — прямая, которая проходит через его середину перпендикулярно ему. Точка равноудалена от концов отрезка тогда и только тогда, когда лежит на медиатрисе.
Четыре линии треугольника
Три из них — отрезки, выходящие из вершины; четвёртая — прямая, проведённая через середину стороны.
| Линия | Что это | Где пересекаются все три |
|---|
| Медиана | соединяет вершину с серединой противолежащей стороны | центр тяжести G |
| Биссектриса | идёт из вершины по биссектрисе угла до противолежащей стороны | точка, равноудалённая от сторон |
| Высота | опущена из вершины перпендикулярно прямой, содержащей противолежащую сторону | ортоцентр H |
| Медиатриса | медиатриса стороны | точка, равноудалённая от вершин |
Центр тяжести делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины: если AA1 — медиана, то AG=32AA1 и GA1=31AA1. У высот пересекаются прямые, на которых они лежат, и ортоцентр не всегда внутри: у остроугольного треугольника он внутри, у тупоугольного — снаружи, а у прямоугольного совпадает с вершиной прямого угла.
Углы треугольника
Сумма углов любого треугольника равна 180∘. Внешний угол при вершине — угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. Он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: если точка D лежит на продолжении стороны AC за точку C, то m(∠BCD)=m(∠A)+m(∠B).
Равнобедренный треугольник
- Углы при основании конгруэнтны.
- Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, — один и тот же отрезок.
- Медианы, проведённые из вершин основания, конгруэнтны; так же конгруэнтны биссектрисы и высоты из этих вершин.
Свойства работают и в обратную сторону. Треугольник равнобедренный, если у него два угла конгруэнтны или если одна его линия совпадает с другой: медиана с биссектрисой, медиана с высотой или биссектриса с высотой.
Равносторонний треугольник
Каждый его угол равен 60∘. Из каждой вершины медиана, биссектриса и высота совпадают, а три медианы (биссектрисы, высоты) имеют одну и ту же длину. Равнобедренный треугольник с углом 60∘ — равносторонний.
Средняя линия
Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется средней линией. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: если M и N — середины сторон AB и BC, то MN∥AC и MN=2AC. Обратно: прямая, проведённая через середину одной стороны параллельно второй, пересекает третью сторону тоже в середине.
Прямоугольный треугольник
- Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Катет, лежащий против угла 30∘, равен половине гипотенузы.
Важно, какой катет лежит против угла. В прямоугольном треугольнике с углом 30∘ второй острый угол равен 60∘, и половине гипотенузы равен только катет, противолежащий углу 30∘.
Что искать в задаче
Равнобедренный треугольник с высотой к основанию даёт два конгруэнтных прямоугольных треугольника и основание, разделённое пополам. Середины двух сторон подсказывают среднюю линию, а угол 30∘ в прямоугольном треугольнике даёт катет без вычислений.
