Ce cere programa
Programa examenului de gimnaziu are la această temă șapte puncte: segmentele proporționale, teorema lui Thales, triunghiurile asemenea, teorema fundamentală a asemănării, criteriile de asemănare a triunghiurilor, criteriile pentru triunghiurile dreptunghice și aplicațiile. Curriculumul numește și noțiunile noi ale temei: raportul a două segmente, coeficientul de asemănare, criteriile de asemănare.
Raportul și segmentele proporționale
Ca să afli raportul a două segmente, împarți lungimile lor, exprimate în aceeași unitate. De aceea transformi înainte de a împărți: 30 cm și 1,5 m dau 15030=51.
Segmentele [A1B1], [A2B2], [A3B3] sunt proporționale cu dacă toate rapoartele corespunzătoare sunt egale cu același număr coeficientul de proporționalitate:
Pe aceeași idee se împarte un segment în părți proporționale cu niște numere. În manual, 18 cm în raportul 2:3:4: 2x=3y=4z=918=2, deci părțile au și cm.
Teorema lui Thales
Dacă o dreaptă este paralelă cu o latură a triunghiului și taie celelalte două laturi (sau prelungirile lor), segmentele formate pe ele sunt proporționale. Dacă M∈AB, N∈AC și MN∥BC, atunci MBAM=NCAN.
Manualul de clasa a X-a enunță teorema pentru dreptele determinate de celelalte două laturi, de aceea ea se aplică și atunci când paralela taie prelungirile laturilor.
Reciproca teoremei lui Thales manualul o lasă ca exercițiu de completat și spune că este și ea teoremă: ea pornește de la o dreaptă care determină pe două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale. Într-un alt exercițiu manualul cere să se stabilească, după desen, dacă o dreaptă este paralelă cu o latură a triunghiului.
Un caz aparte: când mai multe paralele decupează segmente egale pe o secantă, ele decupează segmente egale pe orice altă secantă, iar distanțele dintre paralelele vecine sunt egale. Pe această proprietate manualul cere să se explice cum se împarte un segment în 3 părți egale.
Triunghiuri asemenea
Triunghiurile sunt asemenea când fiecare unghi al unuia este congruent cu unghiul corespunzător al celuilalt, iar laturile corespunzătoare sunt proporționale. Scrierea △ABC∼△A1B1C1 spune totul odată: ∠A≡∠A1, șiunde este coeficientul de asemănare.
Ordinea literelor contează: vârfurile se scriu în perechi omoloage, primul cu primul, al doilea cu al doilea. Din △ABC∼△A1B1C1 nu rezultă, în general, △ABC∼△A1C1B1. Laturile omoloage stau pe aceleași poziții: cu cu cu
Două triunghiuri congruente sunt și asemenea, cu k=1.
Teorema fundamentală a asemănării
O paralelă dusă la o latură taie din triunghi (sau din prelungirile laturilor) un alt triunghi, asemenea cu cel inițial. Pentru MN∥BC ca mai sus, △AMN∼△ABC, deci ABAM=ACAN=BCMN.
Diferența față de Thales: aici intră și segmentul paralel MN, dar el se compară cu latura întreagă BC, iar AM se compară cu AB, nu cu MB. Manualul aplică teorema la o distanță care nu se poate măsura direct, până la un copac.
Criteriile de asemănare
Nu verifici toate cele șase condiții din definiție; ajunge un criteriu:
| Criteriul | Ce verifici |
|---|
| UU | două unghiuri congruente cu două unghiuri ale celuilalt triunghi |
| LUL | două laturi proporționale cu două laturi ale celuilalt, iar unghiurile dintre ele congruente |
| LLL | toate cele trei laturi proporționale cu laturile celuilalt |
La triunghiurile dreptunghice unghiul drept este dat, așa că ajung două perechi de laturi omoloage proporționale sau o pereche de unghiuri ascuțite congruente:
- U: un unghi ascuțit congruent cu un unghi ascuțit al celuilalt;
- CC: catetele respectiv proporționale;
- CI: ipotenuza și o catetă respectiv proporționale cu ipotenuza și o catetă ale celuilalt.
Ariile
Manualul de clasa a IX-a adaugă, în capitolul despre aria triunghiului: ariile a două triunghiuri asemenea se raportă ca pătratul coeficientului de asemănare: dacă laturile sunt de 2 ori mai mari, aria este de 4 ori mai mare.
Cum lucrezi o problemă
- 1)Caută perechea de triunghiuri: o paralelă, un unghi comun, unghiuri opuse la vârf.
- 2)Justifică asemănarea prin teorema fundamentală sau printr-un criteriu.
- 3)Scrie asemănarea cu vârfurile în ordinea perechilor omoloage.
- 4)Scrie egalitatea rapoartelor de laturi omoloage și rezolvă proporția.
