Ce cere programa
Programa examenului de gimnaziu are la această temă cinci puncte: triunghiul (definiție, elemente, clasificare), relația de congruență pentru segmente și unghiuri, triunghiurile congruente cu cazurile de congruență, criteriile pentru triunghiurile dreptunghice și metoda triunghiurilor congruente. Tema se învață în clasa a VII-a.
Triunghiul și elementele lui
Trei puncte necoliniare A, B, C determină triunghiul ABC, notat △ABC: figura formată din segmentele [AB], [BC] și [AC]. Punctele sunt vârfurile, segmentele sunt laturile, iar ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB sunt unghiurile triunghiului. Măsurile celor trei unghiuri au suma 180∘.
Clasificarea
Primele trei tipuri țin de unghiuri, ultimele trei de laturi:
| Tipul | Ce îl deosebește |
|---|
| ascuțitunghic | toate unghiurile sunt ascuțite |
| dreptunghic | un unghi este drept |
| obtuzunghic | un unghi este obtuz |
| scalen | laturile au lungimi diferite |
| isoscel | două laturi sunt congruente |
| echilateral | toate laturile sunt congruente |
La triunghiul dreptunghic, laturile unghiului drept sunt catetele, iar a treia latură este ipotenuza. La triunghiul isoscel, laturile congruente se numesc laterale, iar a treia este baza.
Relația de congruență
Două figuri sunt congruente când, puse una peste alta, coincid; congruența se notează cu ≡. Pentru segmente asta înseamnă aceeași lungime: [AB]≡[CD] dacă AB=CD. Pentru unghiuri înseamnă aceeași măsură. Unghiurile opuse la vârf sunt întotdeauna congruente.
Triunghiuri congruente
La triunghiurile congruente, cele trei laturi și cele trei unghiuri sunt congruente pereche cu pereche: șase perechi în total. Ordinea literelor în notație contează. △DEF≡△RST pune în pereche D cu R, E cu S și F cu T, deci [DE]≡[RS], Vârfurile și laturile puse astfel în pereche se numesc omoloage.
Criteriile de congruență
Nu trebuie verificate toate cele șase perechi, dar nici două perechi nu ajung. Ajung trei, așezate după un criteriu. Manualul le dă pe acestea:
- LUL: două laturi și unghiul cuprins între ele;
- ULU: o latură și cele două unghiuri alăturate ei;
- LLL: toate trei laturile.
Unghiul din LUL trebuie să fie cel dintre cele două laturi. „Două laturi și un unghi oarecare” nu este criteriu: manualul de clasa a VIII-a dă un contraexemplu, cu un unghi care nu este cuprins între cele două laturi.
Triunghiurile dreptunghice
Perechea de unghiuri drepte există deja, așa că mai trebuie două perechi de elemente, dintre care cel puțin una de laturi:
- CC: catetele;
- IC: ipotenuza și o catetă;
- CU: o catetă și unghiul ascuțit alăturat ei;
- IU: ipotenuza și un unghi ascuțit.
CC este de fapt LUL cu unghiul de 90∘ între catete, iar CU este ULU în care al doilea unghi alăturat catetei este cel drept.
Metoda triunghiurilor congruente
Cu ea arăți că două segmente sau două unghiuri sunt congruente:
- 1)încadrezi segmentele (unghiurile) în două triunghiuri;
- 2)demonstrezi cu un criteriu că triunghiurile sunt congruente;
- 3)segmentele (unghiurile) sunt elemente omoloage ale triunghiurilor, deci sunt congruente.
Pe desen caută perechile pe care enunțul nu le scrie: latura comună a două triunghiuri este congruentă cu ea însăși, iar unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
