Что требует программа
Тема проводит целые числа от определения до вычислений: множество Z, числовая ось, противоположное число и модуль, сравнение, четыре действия и их свойства, общий множитель, степень с натуральным показателем и порядок действий со скобками. Деление требуется только тогда, когда делимое кратно делителю, то есть когда частное снова получается целым числом.
Множество целых чисел
В множество Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} входят числа трёх видов: отрицательные, нуль и положительные. Нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Плюс перед положительным числом можно не писать: вместо +7 пишут 7. Запись Z∗ означает целые числа без нуля, то есть ненулевые.
Ось, противоположное число, модуль
Числовая ось — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, направление и единичный отрезок; отрицательные числа лежат левее начала отсчёта. Числа a и −a называют противоположными: они различаются только знаком. Нулю противоположен он сам, а число, противоположное отрицательному, положительно: −(−5)=5.
Модуль, или абсолютное значение, ∣a∣ — это расстояние от начала отсчёта до точки с координатой a. Поэтому модуль никогда не бывает отрицательным:
- ∣a∣=a, если a>0;
- ∣a∣=0, если a=0;
- ∣a∣=−a, если например
У противоположных чисел модули равны: ∣−a∣=∣a∣.
Сравнение
На оси больше то число, которое лежит правее. Любое отрицательное число меньше нуля, а нуль меньше любого положительного. Из двух положительных чисел больше то, у которого модуль больше, а из двух отрицательных — то, у которого модуль меньше: −4>−9.
Сложение и вычитание
- Знаки одинаковые: складываешь модули и ставишь общий знак: −3+(−1)=−4.
- Знаки разные: из большего модуля вычитаешь меньший и ставишь знак того слагаемого, чей модуль больше: 2+(−9)=−7.
- Сумма противоположных чисел равна нулю: a+(−a)=0.
Сложение коммутативно и ассоциативно, а 0 — его нейтральный элемент. Вычитание сводится к сложению с числом, противоположным вычитаемому: a−b=a+(−b), поэтому 6−11=6+(−11)=−5 и 8−(−5)=8+5=13.
Умножение и деление
Умножаешь или делишь модули, а знак ставишь по таблице:
| Множители (делимое и делитель) | Результат |
|---|
| одного знака | положительный |
| разных знаков | отрицательный |
Примеры: −7⋅8=−56, −6⋅(−4)=24, −18:(−6)=3, 24:(−4)=−6. Модуль частного равен частному модулей. Умножение на не меняет число, умножение на даёт противоположное, умножение на даёт Нуль, делённый на ненулевое число, равен делить на нуль нельзя — это не имеет смысла.
Умножение коммутативно, ассоциативно, имеет нейтральный элемент 1 и дистрибутивно относительно сложения и вычитания: a(b±c)=ab±ac. Прочитанное справа налево, то же равенство — правило вынесения общего множителя за скобки: 7⋅(−13)+7⋅3=7⋅(−13+3)=7⋅(−10)=−70.
Степень с натуральным показателем
an — произведение n множителей, равных a; a называют основанием степени, n — показателем. a1=a, a0=1 при а не имеет смысла. Знак степени с отрицательным основанием зависит от показателя: при чётном и при нечётном например При и натуральных показателях работают те же правила, что и для натуральных чисел:
- am⋅an=am+n
- am:an=am−n, при
Порядок действий
Действия делятся на три ступени: I порядок — сложение и вычитание; II порядок — умножение и деление; III порядок — возведение в степень. Без скобок начинаешь с самой высокой ступени, III, потом II и заканчиваешь I; несколько действий одной ступени идут слева направо. Если есть скобки, их считают первыми: сначала круглые, потом квадратные, затем фигурные.
Следи за минусом перед степенью. В учебнике 45+2⋅3−142=−145: степень вычисляют первой, и относится она только к числу 14, а минус остаётся знаком вычитания.
