Ce cere programa
Tema adună ce ai învățat despre numerele raționale în clasa a VI-a: mulțimea Q și axa numerelor, opusul, inversul și modulul, scrierea ca fracție sau ca număr zecimal, compararea și rotunjirea, cele patru operații cu proprietățile lor, puterea cu exponent natural, ordinea operațiilor, fracția dintr-un număr și numărul aflat după o fracție.
Ce este un număr rațional
Un număr este rațional dacă se poate scrie ca nm, unde m este un număr întreg, iar n un număr natural nenul. Mulțimea numerelor raționale se notează Q. Întregii, fracțiile și numerele zecimale sunt toate raționale: 5=15, −0,7=−107.
Opusul, inversul, modulul
| Noțiunea | Ce este | Exemplu |
|---|
| opusul lui a | −a, cu a+(−a)=0 | 2,5 și −2,5 |
| inversul lui a=0 |
Pe axă, 2,5 și −2,5 stau de o parte și de alta a originii, la aceeași distanță de ea, iar în general ∣−a∣=∣a∣: două numere opuse au același modul. Modulul nu e niciodată negativ: ∣a∣=a pentru a>0, ∣0∣=0, pentru
Fracție sau număr zecimal
Numerele zecimale se mai numesc fracții zecimale: un număr zecimal finit îl scrii ca fracție cu numitorul 10, 100, 1000… și apoi o simplifici: 3,16=310016=3254=2579. Invers, împarți numărătorul la numitor: Regula din manual îți spune dinainte când merge: dacă numitorul unei fracții ireductibile are în descompunere numai factorii primi și fracția se scrie ca număr zecimal finit. De exemplu, deci
Compararea
- Numerele pozitive se compară ca fracțiile, aduse la același numitor, sau ca numerele zecimale: 0,4=4016 și 83=4015, deci
Rotunjirea
Rotunjirea până la un ordin dat este numărul de acel ordin cel mai apropiat pe axă. Când numărul stă exact la mijloc, se ia cel mai mare dintre cei doi vecini: 7,45≈7,5, dar −7,45≈−7,4, fiindcă −7,4 este la dreapta lui −7,5.
Adunarea și scăderea
- Semne egale: aduni modulele și păstrezi semnul comun.
- Semne diferite: din modulul mai mare scazi modulul mai mic și pui semnul numărului cu modulul mai mare.
- Scăderea devine adunare cu opusul: a−b=a+(−b).
- O paranteză cu „+” în față se desface fără schimbări; cu „−” în față, fiecare termen din ea își schimbă semnul.
Înmulțirea și împărțirea
Produsul și câtul a două numere cu același semn sunt pozitive, iar cu semne diferite sunt negative. La o fracție împarți ca în clasa a V-a, înmulțind cu inversul ei, iar manualul de clasa a VI-a face la fel și cu numere negative: −8,5:65=−8,5⋅56=−10,2.
Proprietățile
Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative; 0 este element neutru la adunare, 1 la înmulțire. Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere: a⋅(b±c)=a⋅b±a⋅c. Citită de la dreapta la stânga, aceeași egalitate înseamnă scoaterea factorului comun: −2,7⋅3+(−2,7)⋅7=−2,7⋅(3+7)=−27.
Puterea
an este produsul a n factori egali cu a. În plus, a1=a, a0=1 pentru a=0, iar nu are sens. Semnul îl afli din regula semnelor la înmulțire, aplicată factor cu factor: iar
Ordinea operațiilor
Întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile de la stânga la dreapta, la sfârșit adunările și scăderile, tot de la stânga la dreapta. Dacă sunt paranteze, calculezi întâi în cele rotunde, apoi în cele drepte, apoi în acolade.
Fracția dintr-un număr și numărul după fracție
- Ca să afli o fracție dintr-un număr, înmulțești numărul cu fracția: 75 din 21 este 21⋅75=15.
- Ca să afli numărul când știi cât face o fracție din el, împarți acea valoare la fracție: dacă 73 dintr-o suprafață înseamnă m², toată suprafața are m².
