Ce cere programa
La examenul de gimnaziu tema stă în capitolul despre numerele raționale. Programa cere modurile de definire a unei mulțimi, relația de apartenență, mulțimile egale, submulțimile, cardinalul unei mulțimi finite și trei operații: reuniunea, intersecția și diferența. Pe lângă ele, trebuie să treci o mulțime dintr-un mod de scriere în altul, să spui cărei mulțimi de numere îi aparține un număr dat și să rezolvi probleme cu mulțimi.
Mulțimea și elementele ei
O mulțime adună laolaltă obiecte precizate fără echivoc, iar fiecare dintre ele apare o singură dată: acestea sunt elementele mulțimii. Mulțimile primesc ca nume majuscule latine (A, B, M), iar elementele le înșiri între acolade: M={2;5;8}. Că un element face parte din mulțime se scrie cu semnul ∈, care se citește „aparține”: 3∈A. Semnul ∈/ se citește „nu aparține”.
Două mulțimi de numere apar peste tot: N={0;1;2;3;…}, numerele naturale, și N∗={1;2;3;…}, numerele naturale nenule. Deci 0∈N, dar
Patru moduri de a defini o mulțime
- 1)prin enumerarea elementelor: A={1;4;9;16};
- 2)prin descriere verbală: „mulțimea elevilor din clasa noastră”;
- 3)printr-o diagramă Venn-Euler;
- 4)prin proprietatea caracteristică a elementelor: C={x∣x∈N, x<5} este mulțimea numerelor naturale mai mici decât 5.
Ca să treci de la proprietate la enumerare, verifici pe rând numerele care o pot avea: C={0;1;2;3;4}. La o mulțime infinită, ca N, scrii primele elemente și pui puncte de suspensie: {0;1;2;3;…}.
Mulțimi finite, cardinal, mulțimea vidă
Divizorii lui 12 formează o mulțime finită, {1;2;3;4;6;12}, iar multiplii lui 12, {0;12;24;36;…}, una infinită. Câte elemente are o mulțime finită A spune cardinalul ei, scris cardA: pentru divizorii lui el este Dacă o mulțime nu conține nimic, ea este mulțimea vidă, și
Mulțimi egale și submulțimi
- A=B (mulțimi egale) dacă cele două mulțimi au exact aceleași elemente. Ordinea în care le scrii nu contează: mulțimea literelor cuvântului „rac” este egală cu mulțimea literelor cuvântului „car”.
- A⊂B (A este submulțime a lui B) dacă toate elementele lui A se găsesc și în B.
Nu confunda semnele: ∈ leagă un element de mulțimea din care face parte (3∈A), iar ⊂ spune că o mulțime întreagă este parte din alta ({3}⊂A). Mulțimile de numere sunt incluse una în alta: N∗⊂N⊂Z⊂Q⊂R.
Operații cu mulțimi
| Operația | Se notează | Ce elemente conține |
|---|
| reuniunea | A∪B | tot ce se află în A, în B sau în amândouă, scris o singură dată |
| intersecția | A∩B | doar ce se află și în A, și în B |
| diferența | A∖B |
Pentru A={2;4;6;8} și B={4;8;12} obții A∪B={2;4;6;8;12}, și Ultimele două arată că la diferență ordinea mulțimilor contează. Dacă două mulțimi nu au elemente comune, intersecția lor este
Diferența apare și la mulțimile de numere: mulțimea numerelor iraționale se scrie I=R∖Q, iar R∖{2} înseamnă toate numerele reale în afară de 2.
Câte elemente are reuniunea
Când aduni cardinalele a două mulțimi, elementele comune sunt numărate de două ori, de aceea se scad o dată:
card(A∪B)=cardA+cardB−card(A∩B).
Manualul de clasa a VII-a o aplică la o clasă în care fiecare elev participă la cel puțin un concurs: 24 de elevi la matematică, 19 la engleză și la ambele. În clasă sunt de elevi.
Cine nu face parte din niciuna dintre mulțimi rămâne în afara reuniunii: dacă într-o clasă de 25 de elevi 3 nu participă la niciun concurs, atunci card(A∪B)=25−3=22. Formula se poate folosi și invers, când se cere partea comună: card(A∩B)=cardA+cardB−card(A∪B).
Cum lucrezi
Scrie întâi fiecare mulțime prin enumerare, apoi fă operația cerută: la reuniune iei toate elementele, fiecare o singură dată, la intersecție pe cele comune, la diferență pe cele din prima mulțime care lipsesc din a doua. Cardinalul rezultatului îl afli numărând elementele lui, iar formula de mai sus îți servește ca verificare.
