Что требует программа
На экзамене за гимназию эта тема входит в раздел о рациональных числах. Программа требует знать способы задания множества, отношение принадлежности, равенство множеств, подмножества, кардинал конечного множества и три действия: объединение, пересечение и разность. Кроме того, нужно уметь переводить запись множества из одной формы в другую, определять, какому числовому множеству принадлежит данное число, и решать задачи с помощью множеств.
Множество и его элементы
Множество составляют объекты, у которых есть общий признак, например ученики одного класса или делители числа 12; каждый такой объект — элемент множества. Имена множествам дают большими латинскими буквами (A, B, M), а элементы перечисляют внутри фигурных скобок: M={2;5;8}. То, что элемент входит в множество, записывают знаком ∈ и читают «принадлежит»: 3∈A. Знак ∈/ читают «не принадлежит».
Два числовых множества встречаются постоянно: N={0;1;2;3;…} — натуральные числа и N∗={1;2;3;…} — ненулевые натуральные числа. Значит, 0∈N, но 0∈/N∗.
Четыре способа задать множество
- 1)перечислением элементов: A={1;4;9;16};
- 2)словесным описанием: «множество учеников нашего класса»;
- 3)диаграммой Венна–Эйлера;
- 4)характеристическим свойством элементов: C={x∣x∈N, x<5} — множество натуральных чисел, меньших 5.
Чтобы перейти от свойства к перечислению, перебирают числа, которые могут им обладать: C={0;1;2;3;4}. У бесконечного множества, например N, пишут первые элементы и многоточие: {0;1;2;3;…}.
Конечные множества, кардинал, пустое множество
Делители числа 12 образуют конечное множество {1;2;3;4;6;12}, а числа, кратные 12, то есть {0;12;24;36;…}, — бесконечное. Сколько элементов в конечном множестве A, показывает его кардинал, cardA: для делителей числа он равен Если в множестве нет элементов вовсе, оно пустое, и
Равные множества и подмножества
- A=B (равные множества), если в них в точности одни и те же элементы. Порядок записи не важен: множество букв слова «нос» равно множеству букв слова «сон».
- A⊂B (A — подмножество B), если все элементы A есть и в B.
Не путай знаки: ∈ связывает элемент с множеством, в которое он входит (3∈A), а ⊂ говорит, что целое множество — часть другого ({3}⊂A). Числовые множества вложены друг в друга: N∗⊂N⊂Z⊂Q⊂R.
Действия над множествами
| Действие | Обозначение | Какие элементы содержит |
|---|
| объединение | A∪B | всё, что есть в A, в B или в обоих, по одному разу |
| пересечение | A∩B | только то, что есть и в A, и в B |
| разность | A∖B |
Для A={2;4;6;8} и B={4;8;12} получаем A∪B={2;4;6;8;12}, и Последние два результата показывают, что в разности порядок множеств важен. Если у двух множеств нет общих элементов, их пересечение равно
Разность встречается и в записи числовых множеств: множество иррациональных чисел записывают как I=R∖Q, а R∖{2} означает все действительные числа, кроме 2.
Сколько элементов в объединении
Если сложить кардиналы двух множеств, общие элементы будут посчитаны дважды, поэтому их один раз вычитают:
card(A∪B)=cardA+cardB−card(A∩B).
В учебнике VII класса так решают задачу о классе, где каждый ученик участвует хотя бы в одном конкурсе: 24 ученика — в конкурсе по математике, 19 — по английскому, — в обоих. В классе учеников.
Кто не входит ни в одно из множеств, остаётся вне объединения: если в классе из 25 учеников 3 не участвуют ни в одном конкурсе, то card(A∪B)=25−3=22. Формулой можно пользоваться и в обратную сторону, когда нужна общая часть: card(A∩B)=cardA+cardB−card(A∪B).
Как действовать
Сначала запиши каждое множество перечислением, потом выполни нужное действие: в объединение бери все элементы, общие — по одному разу, в пересечение — только общие, в разность — элементы первого множества, которых нет во втором. Кардинал результата находят, пересчитав его элементы, а формула выше служит проверкой.
