Numere reale, modulul și puterile cu exponent întreg
Numărul real, modulul și puterile cu exponent întreg: numere periodice și iraționale, compararea pe axă, proprietățile modulului și ale puterilor. Aici ai regulile din manuale, un exemplu rezolvat și greșelile frecvente.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1156 din 24.11.2022.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa La această temă programa examenului de gimnaziu cere numerele zecimale periodice, noțiunea de număr irațional și de număr real, modulul cu proprietățile lui, compararea numerelor reale și operațiile cu ele, puterile cu exponent întreg. Rădăcina pătrată, din aceeași parte a programei, este o temă aparte.
Numere zecimale periodice Un număr zecimal periodic are o infinitate de zecimale, iar perioada lui se scrie între paranteze: 2,454545…=2,(45),1,333…=1,(3). Dacă perioada începe imediat după virgulă, numărul este periodic simplu: 0,(26). Dacă între virgulă și perioadă mai stau cifre, numărul este periodic mixt: 25,2(43).
Partea zecimală se transformă în fracție ordinară așa:
periodic simplu: la numărător scrii perioada, la numitor câte un 9 pentru fiecare cifră a perioadei: 0,(26)=9926;
periodic mixt: la numărător scrii numărul format din partea neperiodică urmată de perioadă, minus numărul format din partea neperiodică; la numitor, câte un 9 pentru fiecare cifră a perioadei, apoi câte un 0 pentru fiecare cifră a părții neperiodice: 0,2(43)=990243−2=990241.
Partea întreagă se adaugă la sfârșit, 25,2(43)=25990241, iar fracția obținută se simplifică, dacă se poate.
Numere iraționale și numere reale Un număr irațional nu se poate scrie nici ca fracție, nici ca număr zecimal periodic: se scrie ca număr zecimal infinit neperiodic. Exemple sunt 3=1,7320508… și π=3,1415…. Mulțimea numerelor iraționale se notează I.
Orice număr real este rațional sau irațional, deci R=Q∪I. Mulțimile de numere se includ una în alta: N⊂Z⊂Q⊂R, iar I⊂R. Un număr real se poate scrie ca număr zecimal cu un număr finit de zecimale, ca număr zecimal infinit neperiodic sau ca număr periodic cu perioada diferită de 9.
Axa numerelor Fiecărui număr real îi corespunde un singur punct al axei, iar fiecărui punct, un singur număr real, numit coordonata punctului. De regulă, un număr irațional îl așezi pe axă după aproximările lui zecimale: din 2≈1,414 rezultă 1,41<2<1,42. Dintre două numere de pe axă, mai mare este cel aflat în dreapta. Numerele și sunt opuse: stau de o parte și de alta a originii, la aceeași distanță de ea.
Modulul ∣a∣=a dacă a≥0 și ∣a∣=−a dacă a<0. Altfel spus, ∣a∣ este distanța de la punctul a la 0. Ca să scrii un modul fără bare, afli întâi semnul expresiei dintre ele: deci și
Proprietatea
Pentru
∣a∣≥0, iar ∣a∣=0 numai când a=0
orice a
∣a∣≥a
orice a
Compararea Oricare două numere reale se pot compara, după aproximările lor zecimale sau după locul lor pe axă: 7≈2,6 și 22≈2,8, deci Dintre două numere negative, mai mic este cel cu modulul mai mare: Un număr negativ este mai mic decât orice număr nenegativ. Dacă înmulțești ambii membri ai inegalității cu un număr pozitiv, semnul rămâne; cu un număr negativ, semnul se schimbă:
Ordinea operațiilor Fără paranteze, extragi întâi rădăcinile și ridici la putere, apoi înmulțești și împarți, iar la sfârșit aduni și scazi, în ordinea în care sunt scrise. Ce e în paranteze se calculează primul, după aceleași reguli.
Puteri cu exponent întreg Pentru a=0:a0=1 și a−n=an1. De exemplu, și Expresia nu are sens. La o fracție, exponentul negativ o întoarce:
Pentru a,b=0 și m,n numere întregi:
Regula
Formula
produsul puterilor cu aceeași bază
am⋅an=am+n
câtul puterilor cu aceeași bază
am:an=am−n
O putere a lui −1 cu exponent par este 1, cu exponent impar este −1. Regulile pentru produs și cât se aplică puterilor cu aceeași bază: 343−3⋅32=3−3+2−4=3−5=2431. O bază care este ea însăși o putere, ca se scrie ca putere cu regula puterii unei puteri:
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Lecție de recapitulare din clasa a IX-a, după manual: mulțimile de numere și incluziunile lor, numerele periodice simple și mixte transformate în fracții (minutele 7–10), radical din 5 pe axă, compararea și numerele opuse, apoi modulul cu proprietățile lui (minutele 14–17).
Ce acoperă: Definiția puterii cu exponent întreg, puterea cu exponentul zero și cea cu exponent negativ, proprietățile puterilor și exerciții în care bazele se aduc la aceeași bază; spre final, puteri ale lui 10 într-o problemă cu mărimi mari.
Ce acoperă: Fragment de la minutul 7, circa nouă minute: două expresii de tip examen cu puteri, una cu exponent negativ, calculate prin aducerea la aceeași bază. Începutul lecției prezintă structura testului, iar de la minutul 16 se trece la radicali.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
20 de cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
