Действительные числа, модуль и степень с целым показателем
Действительное число, модуль и степень с целым показателем: периодические и иррациональные числа, сравнение на оси, свойства модуля и степеней. Здесь правила из учебников, решённый пример и частые ошибки.
Что требует программа По этой теме программа экзамена за гимназию требует периодические десятичные числа, понятия иррационального и действительного числа, модуль и его свойства, сравнение действительных чисел и действия над ними, степень с целым показателем. Квадратный корень из того же раздела программы — отдельная тема.
Периодические десятичные числа У периодического десятичного числа бесконечно много десятичных знаков, а его период записывают в скобках: 2,454545…=2,(45),1,333…=1,(3). Если период начинается сразу после запятой, число называют простым периодическим (в учебнике VII класса — с чистым периодом): 0,(26). Если между запятой и периодом есть другие цифры, число смешанное периодическое: 25,2(43).
Дробную часть переводят в обыкновенную дробь так:
простое периодическое: в числителе период, в знаменателе по одной девятке на каждую цифру периода: 0,(26)=9926;
смешанное периодическое: в числителе число из непериодической части и периода минус число из непериодической части; в знаменателе по девятке на каждую цифру периода и за ними по нулю на каждую цифру непериодической части: 0,2(43)=990243−2=990241.
Целую часть прибавляют в конце, 25,2(43)=25990241, а полученную дробь сокращают, если это возможно.
Иррациональные и действительные числа Иррациональное число нельзя записать ни в виде дроби, ни в виде периодического десятичного числа: оно записывается бесконечным непериодическим десятичным числом. Примеры: 3=1,7320508… и π=3,1415…. Множество иррациональных чисел обозначают I.
Любое действительное число рационально или иррационально, поэтому R=Q∪I. Числовые множества вложены одно в другое: N⊂Z⊂Q⊂R, а I⊂R. Действительное число можно записать десятичным числом с конечным числом знаков, бесконечным непериодическим десятичным числом или периодическим с периодом, отличным от 9.
Числовая ось Каждому действительному числу соответствует одна точка оси, а каждой точке — одно действительное число, её координата. Иррациональное число, как правило, ставят на ось по его десятичным приближениям: из 2≈1,414 следует 1,41<2<1,42. Из двух чисел на оси больше то, что расположено правее. Числа и противоположные: они лежат по разные стороны от начала отсчёта на одинаковом расстоянии от него.
Модуль ∣a∣=a, если a≥0, и ∣a∣=−a, если a<0. Иначе говоря, ∣a∣ — это расстояние от точки a до Чтобы раскрыть модуль, сначала определи знак выражения под ним: значит, и
Свойство
Для
∣a∣≥0, причём ∣a∣=0 только при a=0
любого a
∣a∣≥a
любого a
Сравнение Любые два действительных числа можно сравнить — по их десятичным приближениям или по положению на оси: 7≈2,6 и 22≈2,8, значит, Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: Отрицательное число меньше любого неотрицательного. Если обе части неравенства умножить на положительное число, знак сохраняется, а на отрицательное — меняется:
Порядок действий Без скобок сначала извлекают корни и возводят в степень, затем умножают и делят, в конце складывают и вычитают, в порядке записи. То, что в скобках, вычисляют первым, по тем же правилам.
Степень с целым показателем При a=0:a0=1 и a−n=an1. Например, и Выражение не имеет смысла. Отрицательный показатель переворачивает дробь:
При a,b=0 и целых m,n:
Правило
Формула
произведение степеней с одинаковым основанием
am⋅an=am+n
частное степеней с одинаковым основанием
am:an=am−n
Степень числа −1 с чётным показателем равна 1, с нечётным — −1. Правила для произведения и частного применяют к степеням с одинаковым основанием: 343−3⋅32=3−3+2−4=3−5=2431. Основание, которое само является степенью, как записывают степенью по правилу степени степени:
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Повторение в начале X класса: определение степени с целым показателем, нулевая и отрицательная степень, знак степени отрицательного числа, свойства степеней и примеры на вычисление. С 10-й минуты и в конце — сравнение степеней с одинаковыми основаниями, это уже за рамками темы.
О чём: Фрагмент с 3,5-й минуты, около шести минут, при подготовке к экзамену IX класса: два выражения со степенями, одно с отрицательным показателем, вычисленные приведением к одному основанию.
О чём: Фрагмент с 8-й минуты, около восьми минут: числовые множества N, Z, Q, I и R, как они вложены друг в друга, и таблица, к каким множествам относятся разные числа. Начало и конец урока — общие понятия о множествах.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
20 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
