Что требует программа
В этой теме собрано всё о рациональных числах из программы 6-го класса: множество Q и числовая ось, противоположное и обратное число, модуль, запись в виде дроби и десятичного числа, сравнение и округление, четыре действия и их свойства, степень с натуральным показателем, порядок действий, нахождение дроби от числа и числа по его дроби.
Что такое рациональное число
Число рациональное, если его можно записать в виде nm, где m — целое число, а n — натуральное, не равное нулю. Множество рациональных чисел обозначают Q. Целые числа, дроби и десятичные числа — все рациональные: 5=15, −0,7=−107.
Противоположное, обратное, модуль
| Понятие | Что это | Пример |
|---|
| противоположное числу a | −a, причём a+(−a)=0 | 2,5 и −2,5 |
| обратное числу a=0 |
На оси 2,5 и −2,5 лежат по разные стороны от начала отсчёта на одинаковом расстоянии от него, а в общем случае ∣−a∣=∣a∣: у противоположных чисел один и тот же модуль. Модуль никогда не бывает отрицательным: ∣a∣=a при a>0, ∣0∣=0, при
Дробь или десятичное число
Десятичные числа называют также десятичными дробями: конечное десятичное число записывают дробью со знаменателем 10, 100, 1000… и сокращают: 3,16=310016=3254=2579. Обратно — делят числитель на знаменатель: Заранее подсказывает правило из учебника: если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители есть только и дробь записывается конечным десятичным числом. Например, поэтому
Сравнение
- Положительные числа сравнивают как дроби, приведённые к общему знаменателю, или как десятичные числа: 0,4=4016 и 83=4015, значит,
Округление
Округлить до разряда — значит взять ближайшее на оси число этого разряда. Если число стоит ровно посередине, берут большее из двух соседних: 7,45≈7,5, но −7,45≈−7,4, потому что −7,4 лежит правее −7,5.
Сложение и вычитание
- Знаки одинаковые: складываешь модули и ставишь общий знак.
- Знаки разные: из большего модуля вычитаешь меньший и ставишь знак числа с бо́льшим модулем.
- Вычитание заменяют сложением с противоположным числом: a−b=a+(−b).
- Скобки, перед которыми стоит «+», раскрывают без изменений; если перед скобками «−», каждое слагаемое в них меняет знак.
Умножение и деление
Произведение и частное двух чисел одного знака положительны, разных знаков — отрицательны. На дробь делят, как в 5-м классе, умножая на обратную ей, и учебник 6-го класса делает так же с отрицательными числами: −8,5:65=−8,5⋅56=−10,2.
Свойства
Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны; 0 — нейтральный элемент сложения, 1 — умножения. Умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания: a⋅(b±c)=a⋅b±a⋅c. Если читать это равенство справа налево, получается вынесение общего множителя: −2,7⋅3+(−2,7)⋅7=−2,7⋅(3+7)=−27.
Степень
an — произведение n множителей, равных a. Кроме того, a1=a, a0=1 при a=0, а не имеет смысла. Знак находят по правилу знаков при умножении, применяя его множитель за множителем: а
Порядок действий
Сначала степени, затем умножение и деление слева направо, в конце сложение и вычитание, тоже слева направо. Если есть скобки, сначала считают в круглых, затем в квадратных, затем в фигурных.
Дробь от числа и число по его дроби
- Чтобы найти дробь от числа, умножь число на эту дробь: 75 от 21 — это 21⋅75=15.
- Чтобы найти число, когда известно, сколько составляет его дробь, раздели это значение на дробь: если 73 площади — это м², то вся площадь равна м².
