Что требует программа
На экзамене за гимназию в эту тему входят выпуклые многоугольники с их элементами и периметром, четырёхугольники — параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и её средняя линия — и правильный многоугольник на двух примерах: равносторонний треугольник и квадрат. Куррикулум добавляет сюда ещё правильный шестиугольник, но в перечне программы экзамена его нет.
Многоугольник и его элементы
Многоугольник — замкнутая ломаная, которая нигде сама себя не пересекает: соседние звенья сходятся только в общей вершине, несоседние вовсе не имеют общих точек. Стороны делят плоскость на две части: ограниченная ими часть — внутренняя область, остальное — внешняя. Многоугольник выпуклый, если отрезок между любыми двумя точками внутренней области в ней и остаётся; если найдутся две точки, отрезок между которыми выходит наружу, многоугольник невыпуклый. Диагональ соединяет две вершины, которые не являются концами одной стороны. По числу сторон: 4 — четырёхугольник, 5 — пятиугольник, 6 — шестиугольник. Периметр — сумма длин всех сторон.
Три формулы для выпуклого многоугольника с n сторонами
| Что найти | Формула |
|---|
| диагонали из одной вершины | n−3 |
| все диагонали | 2n(n−3) |
| сумма углов | 180∘(n−2) |
У четырёхугольника из каждой вершины выходит одна диагональ, всего их две, а сумма углов равна 360∘. У пятиугольника сумма углов 540∘, у шестиугольника 720∘.
Параллелограмм
Это четырёхугольник, у которого обе пары противолежащих сторон параллельны. Что верно для любого параллелограмма:
- противолежащие стороны конгруэнтны;
- противолежащие углы конгруэнтны;
- два угла, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180∘;
- диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Обратно: чтобы доказать, что выпуклый четырёхугольник — параллелограмм, достаточно одного из шести условий (признаков): две пары параллельных сторон; одна пара сторон параллельна и конгруэнтна; противолежащие стороны попарно конгруэнтны; противолежащие углы попарно конгруэнтны; углы, прилежащие к каждой стороне, в сумме дают 180∘; середины диагоналей совпадают.
Частные виды параллелограмма
- Прямоугольник: параллелограмму достаточно одного прямого угла, чтобы стать прямоугольником, — тогда все четыре угла по 90∘. От остальных параллелограммов его отличают диагонали: параллелограмм с конгруэнтными диагоналями — прямоугольник, и наоборот.
- Ромб: параллелограмм, у которого две соседние стороны конгруэнтны, а значит, конгруэнтны все четыре. Проверка по диагоналям: если они перпендикулярны или лежат на биссектрисах углов, параллелограмм — ромб, и наоборот.
- Квадрат: ромб, у которого есть прямой угол; или, что то же самое, прямоугольник с конгруэнтными соседними сторонами.
Все три сохраняют свойства параллелограмма. У квадрата есть и свойства прямоугольника (прямые углы, конгруэнтные диагонали), и свойства ромба (конгруэнтные стороны, перпендикулярные диагонали на биссектрисах углов).
Трапеция
У трапеции две противолежащие стороны параллельны — это основания, две другие, боковые стороны, не параллельны. Высота — отрезок, перпендикулярный прямым, на которых лежат основания, с концами на этих прямых. В равнобокой (равнобедренной) трапеции боковые стороны конгруэнтны; её диагонали конгруэнтны, и углы при каждом основании конгруэнтны. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Программа на русском языке называет и признаки трапеции, но учебники 8 и 10 классов, по которым составлена страница, их не формулируют, поэтому здесь только определения, свойства и средняя линия.
Средняя линия соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям, а её длина равна полусумме оснований: MN=2a+b, где a и b — длины оснований.
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник правильный, если у него все стороны конгруэнтны и все углы конгруэнтны. Каждый его угол равен n180∘(n−2): 60∘ у равностороннего треугольника, 90∘ у квадрата. В определении два условия. У ромба все стороны конгруэнтны, а углы конгруэнтны, только если каждый равен — а ромб с прямым углом и есть квадрат. Так же у прямоугольника все углы конгруэнтны, а все стороны — только когда конгруэнтны две соседние, то есть опять когда это квадрат.
