Relații metrice în triunghiul dreptunghic: Pitagora, catetă, înălțime
Teorema înălțimii, teorema catetei și teorema lui Pitagora, cum le cere programa, plus sinusul, cosinusul și tangenta din curriculum. Aici ai formulele din manual, tabelul pentru 30°, 45°, 60° și calea de rezolvare a triunghiului.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1156 din 24.11.2022.
Ce trebuie să știi
Ce cere programa Programa examenului de gimnaziu împarte tema în cinci puncte: proiecțiile ortogonale pe o dreaptă, teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora cu aplicațiile ei și rezolvarea triunghiului dreptunghic. Toate se învață în clasa a VIII-a, în capitolul 4 din partea de geometrie a manualului (p. 143–155). Curriculumul adaugă la aceeași unitate sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit, cu valorile lor pentru 30∘,45∘ și 60∘.
Proiecțiile pe ipotenuză Ca să proiectezi o figură pe o dreaptă, cobori perpendiculara din fiecare punct al ei; toate picioarele acestor perpendiculare formează proiecția figurii.
Lucrăm cu desenul din manual: triunghiul ABC are unghiul drept în B, iar BD este înălțimea dusă pe ipotenuza AC. Punctul D taie ipotenuza în două bucăți: AD este proiecția catetei AB, iar DC este proiecția catetei BC. Fiecare catetă are proiecția la capătul ei de pe ipotenuză.
Teorema înălțimii BD2=AD⋅DC: pătratul înălțimii duse pe ipotenuză este egal cu produsul celor două proiecții. Extrăgând radicalul, BD=AD⋅DC: înălțimea este media geometrică a proiecțiilor. Așa se numește pentru două numere pozitive și manualul îi spune și media proporțională. Teorema se demonstrează prin asemănarea triunghiurilor și (criteriul UU).
Teorema catetei AB2=AD⋅AC și BC2=DC⋅AC: pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză. Atenție la pereche: lângă AB stă proiecția nu
Teorema lui Pitagora Pentru catetele a,b și ipotenuza c:c2=a2+b2. Se obține din teorema catetei: aduni AB2=AD⋅AC și și, fiindcă rămâne Când cauți o catetă, scazi:
Reciproca este și ea teoremă: dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic. Așa verifici trei lungimi date: 15,20,25 formează un triunghi dreptunghic, iar 8,12,16 nu.
O aplicație din manual este distanța dintre punctele M1(x1;y1) și M2(x2;y2):
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă Fie un unghi ascuțit α al triunghiului dreptunghic, a cateta opusă lui, b cateta alăturată și c ipotenuza:
sinusul este cateta opusă supra ipotenuză, sinα=ca
cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză, cosα=cb
tangenta este cateta opusă supra cateta alăturată, tgα=ba
Ipotenuza este cea mai lungă latură, așa că fracțiile ca și cb sunt subunitare: 0<sinα<1 și
Valorile pentru 30°, 45° și 60° Cateta opusă unghiului de 30∘ este jumătate din ipotenuză. Cu această catetă x și ipotenuza 2x, cealaltă catetă este (2x)2−x2=x3. Un unghi de face catetele egale: și cu ipotenuza Din aceste două triunghiuri și din definiții ies toate valorile. Manualul de clasa a VIII-a lasă o parte din ele ca exercițiu; tabelul complet este tipărit în manualul de clasa a X-a:
α
sinα
cosα
tgα
ctgα
30∘
21
Rezolvarea triunghiului dreptunghic Exercițiile manualului cer laturile necunoscute ale triunghiului dreptunghic și, cu tabelul trigonometric, măsura unui unghi. Relația o alegi după ce cunoști:
două laturi: a treia din teorema lui Pitagora
ipotenuza și proiecția unei catete: cateta, din teorema catetei
cele două proiecții: înălțimea, din teorema înălțimii, iar ipotenuza este suma lor
o latură și un unghi ascuțit: celelalte laturi din sinus, cosinus sau tangentă
raportul a două laturi: unghiul, din tabelul trigonometric
Când figura nu este un triunghi dreptunghic, de exemplu un triunghi isoscel sau un trapez, duci întâi o înălțime și lucrezi în triunghiul dreptunghic format de ea.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Ce acoperă: Fragmentul de la minutul 1 până la minutul 26, din lecțiile de pregătire pentru examenul de clasa a IX-a: trei probleme rezolvate pe tablă cu teorema lui Pitagora — înălțimea unui triunghi isoscel cu perimetrul dat, un trapez dreptunghic în care se folosește cateta opusă unghiului de 30° și latura unui romb aflată din jumătățile diagonalelor. După minutul 26 lecția trece la arii și la corpuri geometrice.
Restul temei e în abonament
Rezumatul, sursele și videourile rămân deschise. Cu abonamentul, pe această pagină se deschid:
17 cartonașe cu faptele temei, care intră în repetarea zilnică
testul temei: 10 întrebări, cu răspunsuri și explicații
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
ab
a
b;
ABD
BCD
AD,
DC.
BC2=DC⋅AC
AD+DC=AC,
AB2+BC2=AC2.
a2=c2−b2.
M1M2=(x2−x1)2+(y2−y1)2.
cotangenta este cateta alăturată supra cateta opusă, ctgα=ab
