Ce cere programa
Programa examenului de gimnaziu pune la această temă: rapoartele și șirurile de rapoarte egale, proporția și proprietatea ei fundamentală, aflarea unui termen necunoscut, mărimile direct și invers proporționale și regula de trei simplă. Tema se învață în clasa a VI-a, în capitolul „Rapoarte și proporții”. Itemii-model din programă cer, de exemplu, două numere direct sau invers proporționale cu numere date sau distanța reală după scara unei hărți.
Raportul
Raportul numerelor a și b, cu b=0, se scrie ba sau a:b, iar valoarea lui este câtul împărțirii lui a la b. Amplificat sau simplificat cu același număr nenul, raportul își păstrează valoarea. Două mărimi de același fel se compară abia după ce le treci în aceeași unitate: raportul dintre 2 m și 40 cm este 200:40=5.
Când împarți două mărimi de feluri diferite, obții o mărime de alt fel, cu unitatea ei; valoarea unui asemenea raport poartă numele de raport unitar:
- prețul = costul : cantitatea; 3 kg de miere cu 135 de lei înseamnă 45 lei/kg
- viteza = distanța : timpul
- densitatea = masa : volumul
Concentrația soluției este, în schimb, raportul a două mase: C=mm1, masa substanței dizolvate împărțită la masa soluției.
Șirul de rapoarte egale
Când cel puțin trei rapoarte au toate aceeași valoare, spunem că avem un șir de rapoarte egale. Dacă valoarea comună este k, poți scrie fiecare numărător ca produsul dintre k și numitorul lui. Proprietatea de reținut: când b1a1=b2a2=⋯=bnan, fiecare raport este egal și cu Așa afli trei numere cu suma cunoscută: din valoarea comună este
Proporția
Egalitatea a două rapoarte, ba=dc sau a:b=c:d, este o proporție. și sunt extremii, și sunt mezii. Proprietatea fundamentală: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor,
Tot cu ea afli un termen necunoscut: din 0,20,3=40x scrii 0,3⋅40=0,2⋅x, deci Tot cu produsele verifici dacă din patru numere se poate face o proporție: deci pe când pentru produsele și diferă.
Scara leagă o distanță desenată pe hartă de aceeași distanță măsurată pe teren. La scara 1:a, o lungime din realitate o întrece de a ori pe cea de pe hartă: la 1:25000000, 3,5 cm pe hartă înseamnă 875 km.
Mărimi direct proporționale
Când una dintre mărimi crește sau scade de un număr de ori, cealaltă crește sau scade de același număr de ori, iar raportul lor rămâne constant. Exemple: cantitatea de benzină și costul ei la preț constant, timpul și distanța la viteză constantă. Două șiruri sunt direct proporționale dacă b1a1=⋯=bnan=k, este coeficientul de proporționalitate. Ca să împarți un număr în părți direct proporționale cu scrii un segment de cm se împarte în și cm.
Mărimi invers proporționale
Aici, când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de tot atâtea ori, iar produsul lor rămâne constant: viteza și timpul pe aceeași distanță. Șirurile sunt invers proporționale dacă a1b1=a2b2=⋯=anbn. Dacă și sunt invers proporționale, atunci sunt direct proporționale cu așa se împarte un număr în părți invers proporționale. Manualul de clasa a IX-a scrie aceeași legătură iar proporționalitatea directă ca funcția
Regula de trei simplă
Rezolvările din manual urmează aceiași pași:
| Pas | Ce faci |
|---|
| 1 | Scrii enunțul în schemă pe două rânduri, cu necunoscuta x |
| 2 | Stabilești dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale |
| 3 | Direct: rapoartele în aceeași ordine. Invers: unul dintre rapoarte se întoarce |
| 4 | Afli x din proporție și scrii răspunsul cu unitatea |
Exemplele din manual: 3 minute pentru 21 de pagini și 10 minute pentru x pagini dau 103=x21. cisterne în zile și cisterne în zile sunt mărimi invers proporționale: deci zile. A doua metodă din manual este reducerea la unitate: afli întâi câte pagini se tipăresc într-un minut, apoi înmulțești cu
Aceeași schemă rezolvă și problemele cu procente, pe care le înveți la tema despre procente: întregul stă în dreptul lui 100%. În manual, dacă 15% din venitul unei familii înseamnă 900 de lei, schema este 15% — 900 lei, 100% — x lei, iar x se află din proporție.
