Что требует программа
В программе экзамена за гимназию в эту тему входят отношения и последовательности равных отношений, пропорция и её основное свойство, нахождение неизвестного члена пропорции, прямо и обратно пропорциональные величины и простое правило трёх. Проходят её в VI классе, в главе «Отношения и пропорции». Среди образцов заданий в программе — два числа, прямо или обратно пропорциональные данным числам, и реальное расстояние по масштабу карты.
Отношение
Отношение чисел a и b при b=0 записывают как ba или a:b; его значение — частное от деления a на b. Если оба члена отношения умножить на одинаковое число, не равное нулю, или сократить на него, значение отношения останется прежним. Одноимённые величины сравнивают только в одной единице измерения: отношение 2 м к 40 см равно 200:40=5.
Если разделить друг на друга величины разного рода, получится величина нового рода со своей единицей измерения; значение такого отношения называют единичным отношением:
- цена = стоимость : количество; 3 кг мёда за 135 леев — это 45 леев/кг
- скорость = расстояние : время
- плотность = масса : объём
Концентрация раствора — это, наоборот, отношение двух масс: C=mm1, масса растворённого вещества, делённая на массу раствора.
Последовательность равных отношений
Когда у трёх или большего числа отношений одно и то же значение, говорят о последовательности равных отношений. Обозначив общее значение через k, каждый числитель можно записать как k, умноженное на его знаменатель. Главное свойство: если b1a1=b2a2=⋯=bnan, то каждое из этих отношений равно Так находят три числа с известной суммой: при общее значение равно
Пропорция
Равенство двух отношений, ba=dc или a:b=c:d, называется пропорцией. и — крайние члены, и — средние. Основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних,
С его же помощью находят неизвестный член: из 0,20,3=40x пишут 0,3⋅40=0,2⋅x, откуда Те же произведения показывают, можно ли составить пропорцию из четырёх чисел: поэтому а у чисел произведения и не совпадают.
Масштаб связывает длину, нарисованную на карте, с той же длиной в действительности. При масштабе 1:a реальные размеры в a раз больше: при 1:25000000 отрезок 3,5 см на карте означает 875 км.
Прямо пропорциональные величины
Если одна величина увеличивается или уменьшается в несколько раз, а другая — во столько же раз в ту же сторону, величины прямо пропорциональны; их отношение не меняется. Примеры: количество бензина и его стоимость при постоянной цене, время и пройденный путь при постоянной скорости. Последовательности прямо пропорциональны, если b1a1=⋯=bnan=k, — коэффициент пропорциональности. Разделить число на части, прямо пропорциональные значит записать отрезок см делится на части и см.
Обратно пропорциональные величины
Здесь при увеличении одной величины в несколько раз другая во столько же раз уменьшается, а их произведение остаётся постоянным: скорость и время на одном и том же расстоянии. Последовательности обратно пропорциональны, если a1b1=a2b2=⋯=anbn. Если и обратно пропорциональны, то прямо пропорциональны числам — так делят число на обратно пропорциональные части. В учебнике IX класса та же зависимость записана как а прямая пропорциональность — как функция
Простое правило трёх
Решения в учебнике идут по одним и тем же шагам:
| Шаг | Что делать |
|---|
| 1 | Записать условие в виде схемы в две строки, неизвестное обозначить x |
| 2 | Решить, прямо или обратно пропорциональны величины |
| 3 | Прямо: отношения в одном порядке. Обратно: одно из отношений переворачивается |
| 4 | Найти x из пропорции и записать ответ с единицей измерения |
Примеры из учебника: 3 минуты на 21 страницу и 10 минут на x страниц дают 103=x21. цистерн за дней и цистерн за дней — величины обратно пропорциональные: то есть дней. Второй способ в учебнике — метод приведения к единице: сначала находят, сколько страниц печатается за одну минуту, затем умножают на
По той же схеме решают и задачи на проценты, которые проходят в теме о процентах: целое ставят напротив 100%. В учебнике, если 15% дохода семьи составляют 900 леев, схема такая: 15% — 900 леев, 100% — x леев, а x находят из пропорции.
