Математика, IX класс · Геометрия

Метрические отношения в прямоугольном треугольнике: Пифагор, катет, высота

Теорема высоты, теорема катета и теорема Пифагора, как их требует программа, а также синус, косинус и тангенс из куррикулума. Здесь формулы из учебника, таблица для 30°, 45°, 60° и порядок решения треугольника.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что требует программа

Метрические отношения в прямоугольном треугольнике - Ортогональные проекции на прямой. - Теорема высоты. - Теорема катета. - Теорема Пифагора. Приложения. - Решение прямоугольных треугольников.

Программа экзамена, PDF, страница 21

Что нужно знать

Что требует программа
В программе экзамена за гимназию у темы пять пунктов: ортогональные проекции на прямую, теорема высоты, теорема катета, теорема Пифагора с её приложениями и решение прямоугольных треугольников. Всё это проходят в 8 классе, в 4-й главе геометрической части учебника (с. 143–155). Куррикулум включает в тот же раздел синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла и их значения для углов $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ .

Проекции на гипотенузу
Чтобы спроецировать фигуру на прямую, из каждой её точки опускают перпендикуляр на эту прямую; основания всех перпендикуляров вместе и есть проекция фигуры.

Возьмём чертёж учебника: в треугольнике $A B C$ прямой угол $B$ , а $B D$ — высота, проведённая к гипотенузе $A C$ . Точка $D$ делит гипотенузу на два отрезка: $A D$ — проекция катета $A B$ , $D C$ — проекция катета $B C$ . Проекция каждого катета лежит у его конца на гипотенузе.

Теорема высоты
$B D^{2} = A D \cdot D C$ : квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению двух проекций. Если извлечь корень, $B D = A D \cdot D C$ : высота — среднее геометрическое проекций. Так называют для двух положительных чисел и в учебнике есть и второе название — среднее пропорциональное. Доказывают теорему через подобие треугольников и (признак УУ).

Теорема катета
$A B^{2} = A D \cdot A C$ и $B C^{2} = D C \cdot A C$ : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого же катета на гипотенузу. Следи за парой: к катету $A B$ относится проекция а не

Теорема Пифагора
Для катетов $a$ , $b$ и гипотенузы $c$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Она следует из теоремы катета: складываем $A B^{2} = A D \cdot A C$ и и так как получаем Если ищешь катет, вычитай:

Обратное утверждение тоже теорема: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Так проверяют три данные длины: $15$ , $20$ , $25$ дают прямоугольный треугольник, а $8$ , $12$ , $16$ — нет.

Одно из приложений в учебнике — расстояние между точками $M_{1} (x_{1}; y_{1})$ и $M_{2} (x_{2}; y_{2})$ :

Синус, косинус, тангенс, котангенс
Пусть $α$ — острый угол прямоугольного треугольника, $a$ — противолежащий ему катет, $b$ — прилежащий катет, $c$ — гипотенуза:

синус — противолежащий катет, делённый на гипотенузу: $sin α = \frac{a}{c}$
косинус — прилежащий катет, делённый на гипотенузу: $cos α = \frac{b}{c}$
тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий: $tg α = \frac{a}{b}$

Гипотенуза — самая длинная сторона, поэтому дроби $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$ меньше единицы: $0 < sin α < 1$ и $0 < cos α < 1$ .

Значения для 30°, 45° и 60°
Катет, лежащий против угла $3 0^{\circ}$ , вдвое короче гипотенузы. Если этот катет $x$ , а гипотенуза $2 x$ , то второй катет равен $(2 x)^{2} - x^{2} = x 3$ . Угол делает катеты равными: и гипотенуза Из этих двух треугольников и определений получаются все значения. Учебник 8 класса часть из них оставляет как упражнение; целиком таблица напечатана в учебнике 10 класса:

$α$	$sin α$	$cos α$	$tg α$	$ctg α$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$

Решение прямоугольного треугольника
В упражнениях учебника нужно найти неизвестные стороны прямоугольного треугольника и по тригонометрической таблице — величину угла. Отношение выбирают по тому, что известно:

две стороны: третью — по теореме Пифагора
гипотенуза и проекция катета: катет — по теореме катета
обе проекции: высота — по теореме высоты, а гипотенуза — их сумма
сторона и острый угол: остальные стороны — через синус, косинус или тангенс
отношение двух сторон: угол — по тригонометрической таблице

Если фигура не прямоугольный треугольник, а, например, равнобедренный треугольник или трапеция, сначала проводят высоту и работают в получившемся прямоугольном треугольнике.

Метрические отношения в прямоугольном треугольнике: Пифагор, катет, высота

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу