Что требует программа
По этой теме программа экзамена за гимназию требует четыре вещи: понятие уравнения I степени с двумя неизвестными, понятие системы двух таких уравнений вместе с равносильными преобразованиями, два метода решения — подстановку и метод, который программа называет методом приведения, а учебник — методом сложения, — и текстовые задачи, решаемые уравнениями или системами. Тему проходят в VIII классе и повторяют в IX. Куррикулум добавляет ещё графический метод: в программе экзамена его нет, но он объясняет, почему у системы бывает одно решение, ни одного или бесконечно много.
Уравнение с двумя неизвестными
Уравнение I степени с двумя неизвестными имеет вид ax+by+c=0, где a и b — ненулевые действительные числа, а c — действительное число. Его решение — упорядоченная пара (x0;y0): если подставить эти числа вместо x и y, уравнение превращается в истинное высказывание. Решений бесконечно много: x можно взять любым и найти из уравнения y. Точки с такими координатами лежат на одной прямой — графике уравнения; для ax+by=c это график функции f(x)=−bax+bc.
Система и её решение
Два уравнения a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0, объединённые фигурной скобкой, образуют систему двух уравнений I степени с двумя неизвестными. Решение системы — упорядоченная пара, которая удовлетворяет обоим уравнениям сразу. В задаче из учебника про фортепиано с 88 клавишами, где белых на 16 больше, чем чёрных, система такая: и пара подходит к обоим уравнениям. Решить систему — значит найти множество всех её решений, его обозначают
Равносильные преобразования
Две системы равносильны, если множества их решений равны. Решая систему, шаг за шагом переходят к всё более простым равносильным системам с помощью четырёх преобразований:
- 1)поменять уравнения местами;
- 2)заменить уравнение равносильным ему;
- 3)выразить неизвестное из одного уравнения и подставить это выражение в другое;
- 4)заменить уравнение суммой или разностью двух уравнений системы, умножив их при необходимости на ненулевые числа.
На третьем преобразовании строится метод подстановки, на четвёртом — метод сложения: это и есть два метода из программы.
Метод подстановки
Выбери уравнение, из которого неизвестное выражается проще всего, вырази его и подставь в другое уравнение. Останется уравнение с одним неизвестным. Образец из учебника: в системе x+2y=1, 2x−3y=−5 пишем x=1−2y, затем 2(1−2y)−3y=−5, то есть отсюда и
Метод сложения
Уравнения складывают или вычитают так, чтобы одно неизвестное исчезло. В системе 2x−3y=−1, 4x+3y=25 коэффициенты при y противоположны, и после сложения остаётся 6x=24: x=4, затем и Если коэффициенты не противоположны, сначала умножь одно уравнение (или оба) на ненулевые числа так, чтобы они стали противоположными.
Сколько решений у системы
Система без решений несовместна (S=∅), система с одним решением совместна и определена, система с бесконечным множеством решений совместна и неопределена. При ненулевых a1,a2,b1,b2 вид системы определяют по отношениям коэффициентов, не решая её:
| Отношения | Прямые | Решений |
|---|
| a2a1=b2b1 |
Средний столбец — это графический метод: строишь обе прямые, и координаты точки их пересечения дают решение. Образец из учебника: для 3x+2y=1, 6x+4y=3 имеем 63=42=31, значит, система несовместна.
Текстовые задачи
В образце теста из программы задача, решаемая системой, стоит 5 баллов: 2 за составление системы (по баллу за каждое уравнение), 2 за её решение (по баллу за каждое неизвестное) и 1 за ответ, который образец барема записывает словами задачи. Работай в порядке, который даёт учебник:
- 1)выяви известные и неизвестные величины;
- 2)обозначь каждую неизвестную величину буквой;
- 3)запиши связи из условия уравнениями — здесь их два;
- 4)реши систему;
- 5)проанализируй результат, выбери решение и запиши ответ.
Если в задании не указан метод, засчитывается любой верный путь, в том числе одно уравнение с одним неизвестным. Учебник IX класса решает одну задачу обоими способами: 35 мешков муки и сахара по 80 кг и по 50 кг весят вместе 2 т 500 кг; система x+y=35, 8x+5y=250 даёт 25 мешков муки и 10 мешков сахара.
