Что требует программа
В программе экзамена за гимназию у этой темы семь пунктов: пропорциональные отрезки, теорема Фалеса, подобные треугольники, основная теорема подобия, признаки подобия треугольников, признаки подобия прямоугольных треугольников и приложения. Куррикулум называет и новые термины темы: отношение двух отрезков, коэффициент подобия, признаки подобия.
Отношение и пропорциональные отрезки
Чтобы найти отношение двух отрезков, делят их длины, выраженные в одних и тех же единицах. Поэтому сначала переведи единицы, потом дели: 30 см и 1,5 м дают 15030=51.
Отрезки [A1B1], [A2B2], [A3B3] пропорциональны отрезкам если все соответствующие отношения равны одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности:
На той же идее основано деление отрезка на части, пропорциональные данным числам. В учебнике 18 см делят в отношении 2:3:4: 2x=3y=4z=918=2, значит, части равны и см.
Теорема Фалеса
Если прямая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, то отрезки, которые она на них отсекает, пропорциональны. Если M∈AB, N∈AC и MN∥BC, то MBAM=NCAN.
Учебник X класса формулирует теорему для прямых, на которых лежат две другие стороны, поэтому она верна и тогда, когда параллельная прямая пересекает продолжения сторон.
Теорему, обратную теореме Фалеса, учебник предлагает сформулировать как упражнение и называет её теоремой: в ней исходят из прямой, которая образует с двумя сторонами треугольника пропорциональные отрезки. В другом упражнении учебник просит установить по рисунку, параллельна ли прямая стороне треугольника.
Отдельный случай: когда несколько параллельных прямых высекают равные отрезки на одной секущей, они высекают равные отрезки и на любой другой, а расстояния между соседними прямыми одинаковы. На этом свойстве учебник предлагает объяснить, как разделить отрезок на 3 равные части.
Подобные треугольники
Треугольники подобны, когда каждый угол одного конгруэнтен соответствующему углу другого, а соответствующие стороны пропорциональны. Запись △ABC∼△A1B1C1 сообщает сразу всё: ∠A≡∠A1, игде — коэффициент подобия.
Порядок букв важен: вершины записывают соответственными парами, первую с первой, вторую со второй. Из △ABC∼△A1B1C1 в общем случае не следует △ABC∼△A1C1B1. Сходственные стороны стоят на тех же местах: и и и
Два конгруэнтных треугольника тоже подобны, с k=1.
Основная теорема подобия
Прямая, параллельная стороне, отсекает от треугольника (или от продолжений его сторон) другой треугольник, подобный исходному. При MN∥BC, как выше, △AMN∼△ABC, поэтому ABAM=ACAN=BCMN.
Отличие от теоремы Фалеса: здесь участвует и параллельный отрезок MN, но его сравнивают со всей стороной BC, а AM — с AB, а не с MB. В учебнике теорему применяют к расстоянию, которое нельзя измерить напрямую, — до дерева.
Признаки подобия
Проверять все шесть условий определения не нужно, достаточно одного признака:
| Признак | Что проверить |
|---|
| УУ | два угла конгруэнтны двум углам другого треугольника |
| СУС | две стороны пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними конгруэнтны |
| ССС | все три стороны пропорциональны сторонам другого |
У прямоугольных треугольников прямой угол уже есть, поэтому достаточно двух пар пропорциональных соответствующих сторон или одной пары конгруэнтных острых углов:
- У: острый угол конгруэнтен острому углу другого треугольника;
- КК: катеты соответственно пропорциональны;
- КГ: гипотенуза и катет соответственно пропорциональны гипотенузе и катету другого.
Площади
Учебник IX класса в главе о площади треугольника добавляет: площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: если стороны больше в 2 раза, площадь больше в 4 раза.
Как решать задачу
- 1)Найди пару треугольников: параллельная прямая, общий угол, вертикальные углы.
- 2)Обоснуй подобие основной теоремой или признаком.
- 3)Запиши подобие, сохраняя порядок соответственных вершин.
- 4)Запиши равенство отношений сходственных сторон и реши пропорцию.
