Что требует программа
У этой темы в программе экзамена за гимназию пять пунктов: треугольник (определение, элементы, классификация), отношение конгруэнтности для отрезков и углов, конгруэнтные треугольники и их признаки, признаки конгруэнтности прямоугольных треугольников и метод конгруэнтных треугольников. Тему проходят в VII классе.
Треугольник и его элементы
Три неколлинеарные точки A, B, C задают треугольник ABC, обозначение △ABC: фигуру из отрезков [AB], [BC] и [AC]. Точки — вершины, отрезки — стороны, а ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB — углы треугольника. Сумма величин трёх углов равна 180∘.
Классификация
Первые три вида определяются углами, последние три — сторонами:
| Вид | Чем отличается |
|---|
| остроугольный | все углы острые |
| прямоугольный | один угол прямой |
| тупоугольный | один угол тупой |
| разносторонний | все стороны разной длины |
| равнобедренный | две стороны конгруэнтны |
| равносторонний | все стороны конгруэнтны |
В прямоугольном треугольнике стороны прямого угла — катеты, третья сторона — гипотенуза. В равнобедренном конгруэнтные стороны называют боковыми, третью — основанием.
Отношение конгруэнтности
Фигуры конгруэнтны, если при наложении они совпадают; конгруэнтность обозначают знаком ≡. Для отрезков это одна и та же длина: [AB]≡[CD], если AB=CD. Для углов — одна и та же величина. Вертикальные углы всегда конгруэнтны.
Конгруэнтные треугольники
У конгруэнтных треугольников три стороны и три угла попарно конгруэнтны: всего шесть пар конгруэнтных элементов. Порядок букв в записи важен. Запись △DEF≡△RST ставит в пару D и R, E и S, F и T, поэтому [DE]≡[RS], Вершины и стороны такой пары называют соответственными.
Признаки конгруэнтности
Проверять все шесть пар не нужно, но двух пар мало. Достаточно трёх, расположенных по признаку. В учебнике это такие признаки:
- СУС: две стороны и угол между ними;
- УСУ: сторона и два прилежащих к ней угла;
- ССС: три стороны.
В СУС угол должен лежать между двумя сторонами. «Две стороны и какой-нибудь угол» — не признак: в учебнике VIII класса есть контрпример, где угол лежит не между этими сторонами.
Прямоугольные треугольники
Пара прямых углов уже есть, поэтому нужны ещё две пары элементов, и хотя бы одна из них — пара сторон:
- КК: катеты;
- ГК: гипотенуза и катет;
- КУ: катет и прилежащий к нему острый угол;
- ГУ: гипотенуза и острый угол.
КК — это СУС с углом 90∘ между катетами, а КУ — это УСУ, где второй прилежащий к катету угол прямой.
Метод конгруэнтных треугольников
Так доказывают, что два отрезка или два угла конгруэнтны:
- 1)включи отрезки (углы) в два треугольника;
- 2)докажи по одному из признаков, что треугольники конгруэнтны;
- 3)отрезки (углы) — соответственные элементы этих треугольников, значит, они конгруэнтны.
На рисунке ищи пары, которых нет в условии: общая сторона двух треугольников конгруэнтна сама себе, а вертикальные углы конгруэнтны.
