Numere și calcule: fracții, procente, puteri, radicali

Ordinea operațiilor
Întâi parantezele, apoi puterile și radicalii, apoi înmulțirile și împărțirile, la urmă adunările și scăderile. Semnul intră în putere doar dacă este închis în paranteză: $(-2{)}^3=-8$, $(-2{)}^2=4$, dar $-2^2=-4$.

Numere întregi

• produsul și câtul a două numere de același semn sunt pozitive, ale unora de semne diferite sunt negative
• scăderea este adunare cu opusul: $2-5=2+(-5)=-3$
• $\frac{12}{-3}=-4$, iar $\frac{-8}{4}=-2$

Fracții

• amplificare și simplificare: $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$, pentru $k\ne 0$
• adunarea și scăderea cer același numitor: $\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{1}{36}$
• împărțirea la o fracție este înmulțirea cu inversa ei: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

Procente
$p\%$ dintr-un număr $N$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot N$. La probleme, scrie proporția înainte de orice calcul:

1. 1)ce înseamnă $100\%$;
2. 2)ce înseamnă procentul dat;
3. 3)află necunoscuta din proporție.

• „cu $20\%$ mai mult decât $x$” înseamnă $1,2x$, iar necunoscuta se află împărțind la $1,2$
• „cu $20\%$ mai puțin decât $x$” înseamnă $0,8x$
• procentele nu se adună: o creștere cu $20\%$ urmată de o scădere cu $20\%$ dă $1,2\cdot 0,8=0,96$, adică o scădere de $4\%$

Puteri

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$
• $a^0=1$ pentru $a\ne 0$, iar $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, deci $2^{-2}=\frac{1}{4}$
• exponentul negativ întoarce fracția: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$, de exemplu ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}=\frac{4}{9}$
• trucul care scurtă aproape orice calcul: scrie totul în aceeași bază, $32^{0,6}={\left(2^5\right)}^{0,6}=2^3=8$

Radicali

• $\sqrt{a^2}=|a|$, $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ pentru $a\ge 0$, $b>0$
• scoaterea de sub radical: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$
• raționalizarea cu conjugatul, când numitorul este $a\pm \sqrt{b}$: $\frac{39}{4-\sqrt{3}}=\frac{39\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}=\frac{39\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}=3\left(4+\sqrt{3}\right)$
• radicalul de ordin impar merge și din numere negative: $\sqrt[3]{-8}=-2$

Compararea numerelor
Adu-le la aceeași formă: același numitor, aceeași bază sau aceeași scriere zecimală. La numărători egale, fracția cu numitorul mai mare este mai mică: $\frac{1}{6}<\frac{1}{5}$.

Unități
$1$ m${}^3$ înseamnă $1000$ de litri, $1$ kg înseamnă $1000$ de grame, iar $1$ oră înseamnă $60$ de minute. Transformă unitățile înainte de a compara sau de a împărți.