Что требует программа
Страница для гуманитарного профиля, где математика сдаётся по выбору. Глава X.4 программы требует площадь треугольника по четырём формулам (21aha, Герон, pr и 4Rabc), затем площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба и трапеции, длину окружности и площадь круга. Площади сектора круга в списке нет: об окружности требуют только длину окружности и площадь круга. В учебнике 10 класса по этой теме есть отдельные задачи для гуманитарного профиля и профилей искусство и спорт.
Что такое площадь
Площадь фигуры — неотрицательное число. Конгруэнтные фигуры имеют равные площади, площадь многоугольника, составленного из нескольких многоугольников, равна сумме их площадей, а квадрат со стороной 1 имеет площадь 1. Площадь измеряют в квадратных единицах: квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см2. Многоугольники с равными площадями называются эквивалентными.
Квадрат и прямоугольник
- прямоугольник со сторонами a и b: A=ab;
- квадрат со стороной a: A=a2, а с диагональю
Параллелограмм и ромб
Площадь параллелограмма — сторона, умноженная на высоту, проведённую к ней: A=ah. Берут высоту, а не соседнюю сторону. Ромб — параллелограмм со всеми равными сторонами, поэтому формула та же, а кроме неё A=21d1d2: половина произведения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит, их половины и сторона образуют прямоугольный треугольник; из него по теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) находят сторону или вторую диагональ.
Треугольник
| Что известно | Площадь |
|---|
| сторона a и проведённая к ней высота ha | 21aha |
Здесь p=2a+b+c — полупериметр, то есть половина периметра, а не весь периметр. Формулы с r и R читаются и в обратную сторону: r=pA и так что площадь ведёт к радиусам обеих окружностей. Формула верна для любой стороны и её высоты, значит и по одной известной высоте находят другую. Три факта помогают, когда на сторонах есть точки: медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями; если лежит на стороне то у треугольников и общая высота из и отношение их площадей равно если треугольники подобны с коэффициентом их площади относятся как
Трапеция
Площадь — полусумма оснований, умноженная на высоту: A=2a+b⋅h=m⋅h, где m — средняя линия. В формулу входит высота трапеции, а не боковая сторона.
Окружность и круг
Окружность радиуса r имеет длину L=2πr, а круг, который она ограничивает, имеет площадь A=πr2. Число π≈3,14159 иррационально, поэтому точный ответ сохраняет букву см, а не десятичная дробь. Если в условии дан диаметр, сначала берут радиус — половину диаметра. Длину дают в см, площадь — в см
Как выбрать формулу
Выпишите данные условия и посмотрите, что есть: сторона с высотой ведёт к 21aha или к ah, три стороны — к формуле Герона, радиус — к 2πr или Когда нужно найти или высоту, сначала находят площадь, затем записывают её второй раз через неизвестное и приравнивают два выражения.
