Математика, BAC · Реальный профиль · Геометрия · Геометрические фигуры на плоскости
Треугольники: подобие, теорема Фалеса, теоремы синусов и косинусов
Треугольник на BAC, реальный профиль: классификация, конгруэнтность, замечательные линии, подобие и Фалес, биссектриса, теоремы синусов и косинусов. Здесь определения и теоремы из учебника для X класса, нужные в заданиях.
Что требует программа Тема входит в раздел X.7 программы BAC «Геометрические фигуры на плоскости», а для реального профиля математика — обязательный экзамен. Здесь программа требует: классификацию треугольников, конгруэнтные треугольники, замечательные линии, подобие с теоремой Фалеса и основной теоремой подобия, теорему о биссектрисе, метрические соотношения (теоремы синусов и косинусов), треугольник, вписанный в окружность, и треугольник, описанный около окружности. В учебнике для X класса всё это собрано в модуле 4, последний параграф которого посвящён метрическим соотношениям.
По сторонам: произвольный (все стороны разные), равнобедренный (две стороны конгруэнтны), равносторонний (все стороны конгруэнтны).
Сумма внутренних углов равна 180∘. Внешний угол смежен с внутренним; его величина равна сумме двух других внутренних углов треугольника, поэтому он больше каждого из них.
Конгруэнтные треугольники У конгруэнтных треугольников конгруэнтны соответствующие стороны и углы, и порядок вершин в записи важен. Для доказательства хватает трёх элементов по одному из признаков: СУС (две стороны и угол между ними), УСУ (сторона и два прилежащих к ней угла), ССС (три стороны). У равнобедренного треугольника два угла, прилежащие к основанию, равны (конгруэнтны).
Замечательные линии и точки
Линия
Пересекаются в
Что запомнить
медиана
центре тяжести G
GA=32ma, отношение 2:1 от вершины
медиатриса
центре описанной окружности
точка равноудалена от вершин
биссектриса
центре вписанной окружности
окружность касается всех сторон
высота
ортоцентре
пересекаются прямые, содержащие высоты
Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Для медианы есть формула 4ma2=2(b2+c2)−a2.
Подобие и теорема Фалеса У подобных треугольников соответствующие углы конгруэнтны, а стороны пропорциональны с одним коэффициентом k. Прямая, параллельная стороне, отсекает треугольник, подобный данному (основная теорема подобия), и делит две другие стороны на пропорциональные отрезки (теорема Фалеса). Признаки подобия: два конгруэнтных угла; две пропорциональные стороны и конгруэнтный угол между ними; три пропорциональные стороны.
Теорема о биссектрисе Биссектриса угла A делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: A′CBA′=ACAB. Отрезок, примыкающий к соответствует стороне
Прямоугольный треугольник Прямой угол в вершине A, высота AD:AB2=BC⋅BD и AC2=BC⋅CD (теорема катета), (теорема высоты), (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой середина гипотенузы — центр описанной окружности, а медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому радиус вписанной окружности
Теорема синусов и теорема косинусов
Синусов: sinαa=sinβb=sinγc=2R, где — радиус описанной окружности.
Совет по методу: теорема синусов удобна, когда известны сторона и противолежащий ей угол, а теорема косинусов — когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны.
Значения для вычислений: sin30∘=cos60∘=21,sin45∘=cos45∘=22,
Вписанный и описанный треугольник Треугольник вписан в окружность, когда все его вершины лежат на ней; её центр — точка пересечения медиатрис. Треугольник описан около окружности, когда все его стороны её касаются; центр такой окружности — точка пересечения биссектрис. Теорему о биссектрисе и две метрические теоремы куррикулум X класса называет новыми понятиями этого раздела.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Теорема синусов как часть метрических соотношений в треугольнике и задачи на неё, в том числе с биссектрисой и радиусом описанной окружности; урок 10 класса (тема указана в описании).
О чём: Теорема косинусов: нахождение стороны и угла, вид треугольника по знаку a2+b2−c2, затем задачи с биссектрисой и с диагоналями параллелограмма; урок 10 класса.
О чём: Теорема Фалеса для сторон угла, её частный случай с конгруэнтными отрезками и задачи на нахождение отрезков; в конце урока — основная лемма подобия (в учебнике она называется основной теоремой подобия) и задача о ромбе, вписанном в треугольник. Урок 10 класса.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
20 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
AB,
AB.
AD2=BD⋅CD
BC2=AB2+AC2
a,
b
c
R=2c;
r=2a+b−c.
R
Косинусов: a2=b2+c2−2bccosα.
Знак разности a2−(b2+c2) показывает вид угла против стороны a: плюс — тупой, ноль — прямой, минус — острый.
