Четырёхугольники и правильные многоугольники: гуманитарный профиль

Выпуклые четырёхугольники и правильные многоугольники на BAC, гуманитарный профиль: параллелограмм, ромб, трапеция и правильный шестиугольник. Здесь свойства, нужные на экзамене, и разбор заданий по плоской геометрии с этими фигурами.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что требует программа

X.4. Геометрические фигуры на плоскости
Выпуклые четырехугольники: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция. Свойства.
Приложения четырехугольников в повседневной жизни, химии, физике, искусстве, в технологиях, в строительстве. Образцы моделей тротуаров.
Правильные многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник. Приложения в повседневной жизни, химии, физике, искусстве, в технологиях, в строительстве. Образцы тротуаров.

Что нужно знать

Что требует программа
Страница для гуманитарного профиля (работа ANCE «Гуманитарный профиль, искусство, спорт»). Раздел X.4 требует выпуклые четырёхугольники: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб и трапецию, с их свойствами, а затем правильные многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. К ним добавляются приложения в повседневной жизни, химии, физике, искусстве, технологиях и строительстве, а затем образцы тротуарных покрытий. Из приложений на странице разобран пример из учебника, тротуарные покрытия; для остальных отдельного материала здесь нет. В учебнике для 10 класса по этой теме есть свои наборы задач для гуманитарного профиля. Ниже собраны свойства, которые нужны в вычислениях, без доказательств. У площадей есть отдельная страница, здесь только формулы, нужные в конце решения.

Выпуклый многоугольник
Из одной вершины выпуклого $n$ -угольника выходит $n-3$ диагонали, а всего их $\dfrac{n(n-3)}{2}$ . Сумма внутренних углов равна $180^\circ(n-2)$ . Внешний угол при вершине дополняет внутренний угол при той же вершине до развёрнутого.

Параллелограмм
У параллелограмма две пары параллельных сторон. Отсюда четыре свойства:

противолежащие стороны конгруэнтны;
противолежащие углы конгруэнтны;
два соседних угла дополнительны, то есть дают в сумме $180^\circ$ ;
диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Свойства работают и в обратную сторону, как признаки: чтобы доказать, что перед вами параллелограмм, хватит, например, одной пары параллельных и конгруэнтных сторон или диагоналей с общей серединой. Если параллельные прямые пересечены секущей, внутренние накрест лежащие углы конгруэнтны. На этом держится приём, который часто нужен в заданиях: биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$ , а углы $DAE$ и внутренние накрест лежащие. Они же конгруэнтны углу поэтому треугольник равнобедренный,

Частные виды параллелограмма

Фигура	Что это	Диагонали
прямоугольник	параллелограмм с одним прямым углом; тогда все углы прямые	конгруэнтны
ромб	параллелограмм с конгруэнтными смежными сторонами; тогда все стороны конгруэнтны	перпендикулярны и лежат на биссектрисах углов
квадрат	ромб с одним прямым углом или прямоугольник с конгруэнтными смежными сторонами	конгруэнтны, перпендикулярны, лежат на биссектрисах

Признак с перпендикулярными диагоналями сформулирован для параллелограмма: сначала убедись, что фигура параллелограмм.

Трапеция
У трапеции две параллельные стороны, основания, и две непараллельные, боковые стороны. У равнобокой трапеции боковые стороны конгруэнтны, у прямоугольной одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Основания параллельны, поэтому углы при одной боковой стороне дают в сумме $180^\circ$ .

У равнобокой трапеции диагонали конгруэнтны и углы при каждом основании конгруэнтны.
Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна $\dfrac{a+b}{2}$ .
В равнобокой трапеции с основаниями $a>b$ высота из вершины тупого угла делит большее основание на отрезки $\dfrac{a+b}{2}$ и (учебник требует показать это). Видно по чертежу: высоты из концов меньшего основания отсекают от большего прямоугольник длины и два конгруэнтных прямоугольных треугольника (углы при основании конгруэнтны, высоты равны), и в каждом проекция боковой стороны равна Это отрезок со стороны боковой стороны; другой, лежит со стороны диагонали, которая идёт из противоположного конца большего основания. В получившемся прямоугольном треугольнике хватает теоремы Пифагора и, при угле того, что катет напротив него вдвое короче гипотенузы.

Правильные многоугольники
Правильный многоугольник выпуклый, у него все стороны и все углы конгруэнтны. Простейшие из них: равносторонний треугольник и квадрат. Внутренний угол правильного $n$ -угольника равен $\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$ . Центральный угол, опирающийся на одну сторону, равен $\dfrac{360^\circ}{n}$ ; столько же составляет внешний угол, ведь

Правильный многоугольник	$n$	внутренний угол	центральный угол
равносторонний треугольник	3	$60^\circ$	$120^\circ$
квадрат	4	$90^\circ$

Правильный шестиугольник строят циркулем: на окружности радиуса $a$ берут точку $A$ и раствором $a$ отмечают подряд ещё пять точек, поэтому его сторона равна радиусу окружности. В окружности радиуса $R$ сторона вписанного равностороннего треугольника равна $R\sqrt3$ , вписанного квадрата вписанного правильного шестиугольника

Тротуарные покрытия
Мостить поверхность значит выкладывать её плитками, то есть плоскими фигурами, прилегающими друг к другу без зазоров и не налезающими друг на друга. Регулярное покрытие состоит из правильных многоугольных плиток одной формы. В учебнике показаны регулярные покрытия из квадратов, из равносторонних треугольников и из правильных шестиугольников.

Площади, коротко
Площадь ромба равна $\dfrac{d_1d_2}{2}$ , площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведённую к ней высоту, площадь трапеции равна $\dfrac{a+b}{2}\cdot h$ , то есть средняя линия, умноженная на высоту.

Порядок работы

1)Сделай чертёж и надпиши на нём данные.
2)Найди свойство, которое связывает данные: противолежащие стороны или углы, биссектриса, средняя линия, диагонали.
3)Опусти высоты, чтобы получить прямоугольные треугольники, и примени теорему Пифагора.
4)Вычисли, оставь корни точными и запиши единицу: см для длин, см² для площадей.

Четырёхугольники и правильные многоугольники: гуманитарный профиль

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу