Что требует программа в гуманитарном профиле
Страница написана для гуманитарного профиля (в учебниках 10 класса: гуманитарный, искусство, спорт), а не для реального. Раздел X.3 «Функции» его программы охватывает несколько функций; страница берёт только те, что здесь: понятие функции, функцию I степени (график и свойства) и прямую пропорциональность. Свойства нужно выводить по графику и/или по формуле. Приложения, среди прочего, берутся из повседневной жизни, физики, химии, биологии, литературы, техники, географии, истории, искусства и технологий.
Функция и её график
Функция f:A→B каждому x из A ставит в соответствие единственное y из B. Множество A, на котором задана f, называют областью определения D(f), а значения f образуют множество E(f); значение в точке x записывают y=f(x). Функцию можно задать двумя способами: аналитически, формулой, и синтетически, диаграммой, таблицей значений или графиком. В задачах о функциях начинают с области определения.
График — это множество точек (x;y), для которых y=f(x). Отсюда правило для вопроса «принадлежит ли точка M(x0;y0) графику?»: найди и сравни результат с Точка принадлежит графику ровно тогда, когда
Функция I степени
Это функция f:R→R, f(x)=ax+b, где a=0. Число называют угловым коэффициентом графика (в румынском тексте — ). Условие удерживает функцию в I степени: при остаётся постоянная функция.
График — прямая, и для её построения достаточно двух точек, обычно лежащих на осях:
- с осью Oy: здесь x=0, поэтому из y=f(x) точка равна (0;f(0))=(0;b), ведь — её ордината;
При b=0 прямая проходит через начало координат O(0;0). При a=0, когда функция уже не I степени, график параллелен оси Ox или сам является осью Ox (если ещё и
Прямая пропорциональность
Функция f(x)=ax, где a=0, — это случай b=0 функции I степени; число a называют коэффициентом пропорциональности. График проходит через начало координат, поэтому нужна ещё одна точка. Между положительными величинами, например стоимостью и количеством при фиксированной цене килограмма, зависимость записывается так же, при
Свойства функции f(x)=ax+b
| Свойство | Правило |
|---|
| Монотонность | a>0: строго возрастает на R; a<0: строго убывает на R |
| Нуль | число x=−ab |
Монотонность читают по a, а не по b. Определение говорит, что это значит: у строго возрастающей функции из x1<x2 следует f(x1)<f(x2); у строго убывающей знак неравенства меняется, Так значения функции сравнивают, не вычисляя их.
Нуль — это число, а не точка: число a является нулём функции f, если f(a)=0, и тогда точка (a;0) лежит на графике. На рисунке нуль — абсцисса точки, в которой прямая пересекает ось Ox.
Как работать с заданием такого типа
- 1.Запиши формулу функции и её область определения.
- 2.Для заданной точки подставь координаты в y=f(x).
- 3.Для нуля и знака реши уравнение или неравенство с ax+b.
- 4.Когда по условию нужны a и b, составь по уравнению для каждой точки и реши систему.
