Комплексные числа в алгебраической форме на BAC, гуманитарный профиль: действия, сопряжённое число, модуль и уравнения II степени на ℂ. Страница показывает этапы, за которые схема проверки даёт баллы; без тригонометрической формы.
Что требует программа в гуманитарном профиле Страница написана для работы BAC по математике гуманитарного профиля, раздел XI.2 программы. В нём: понятие комплексного числа и множество C, алгебраическая форма, арифметические действия в алгебраической форме, модуль и решение на C уравнений II степени с действительными коэффициентами. Тригонометрическая форма и биквадратные уравнения относятся к разделу XI.4 реального профиля, здесь их нет. Схема проверки не требует вычислений и объяснений, не предусмотренных в условии; задание оценивается по этапам вычислений, поэтому выкладки записывают полностью.
Комплексное число Комплексное число записывают как z=a+bi, где a,b∈R и i2=−1; их множество обозначают C, и N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
a=Rez — действительная часть, b=Imz — мнимая часть. Мнимая часть — это действительное число b, а не bi.
a+0i — действительное число при — чисто мнимое число.
Действия в алгебраической форме Складывают и вычитают отдельно действительные и мнимые части. Умножают как два многочлена от буквы i и заменяют i2 на −1: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i.Формулы сокращённого умножения продолжают работать. Степени повторяются через четыре: Большой показатель записывают как кратное плюс остаток, так как и
Сопряжённое число и деление Число, сопряжённое к z=a+bi, — это zˉ=a−bi: у мнимой части меняют знак. Произведение z⋅zˉ=a2+b2 — неотрицательное действительное число, без На этом держится деление: числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое знаменателю.После этого действительную и мнимую части записывают отдельно. Число, обратное к равно отсюда Ещё полезно помнить: и действительны, а ровно тогда, когда действительно.
Модуль ∣a+bi∣=a2+b2 — неотрицательное действительное число. Свойства: и Если не полный квадрат, записывайте модуль точно, под корнем: округлённое значение не является точным результатом.
Уравнения II степени на ℂ Уравнение ax2+bx+c=0 с действительными коэффициентами имеет действительные решения ровно тогда, когда Δ=b2−4ac≥0. При действительных решений нет, но на они есть всегда: записывают так как и применяют обычную формулу,В уравнении и Два решения отличаются только знаком мнимой части, поэтому их модули равны.
Уравнения с неизвестным z Уравнение с неизвестным z обычно решают одним из трёх способов, в зависимости от вида.
Есть только z, без zˉ: выражают z как в уравнении I степени, получают частное комплексных чисел и умножают числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю.
Есть и z, и zˉ: подставляют и раскрывают скобки, отделяют действительную часть от мнимой и приравнивают их к частям правой стороны. Получается система двух уравнений с действительными
Как оценивается работа Схема проверки гуманитарного профиля делит задание на этапы. Для комплексной дроби, например, отдельно оцениваются умножение на сопряжённое и произведение в знаменателе. Поэтому записывайте каждый этап, даже если он кажется очевидным.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
Сложение, вычитание, умножение, деление и модуль комплексных чисел с разбором каждого действия на примере (в описании главы по минутам); короткое объяснение вне молдавской программы.
С 50:52 до 58:05 из часового повторительного урока для школ с русским языком (содержание одобрено ANCE): алгебраическая форма, действительная и мнимая часть, сопряжённое число, модуль, деление комплексных чисел, уравнение с z и zˉ и квадратное уравнение с Δ<0 на примерах; остальное в видео — другие темы BAC.
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
a;
0+bi
b=0
a+bi и c+di считаются равными, когда a=c и b=d. Отсюда правило: равенство комплексных чисел с действительными неизвестными распадается на два действительных уравнения, одно для действительных частей, другое для мнимых.
i
i2=−1,
i3=−i,
i4=1,
i5=i.
4
i4=1:
i73=(i4)18⋅i=i
i24k+3=(i4)6k⋅i3=−i.
i.
c+dia+bi=c2+d2(a+bi)(c−di)
z=a+bi=0,
a2+b2a−bi;
i1=−i.
z+zˉ
z⋅zˉ
z=zˉ
z
∣z∣=∣zˉ∣=∣−z∣,
∣z1z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣
z2z1=∣z2∣∣z1∣.
a2+b2
Δ<0
C
Δ=(i−Δ)2,
i2=−1,
z1,2=2a−b±i−Δ.
z2−2z+3=0:
Δ=−8=(22i)2
z1,2=1±i2.
z=a+bi
zˉ=a−bi,
a,b.
Уравнение задано определителем второго порядка с комплексными элементами: prqs=ps−qr. Его раскрывают и приходят к одному из случаев выше; иногда получается уравнение II степени, которое решают как в предыдущем разделе.
