Системы линейных уравнений в гуманитарном профиле: правило Крамера
Системы линейных уравнений 2×2 и 3×3 на бакалавриате гуманитарного профиля: определители, правило Крамера и текстовые задачи. На странице этапы, за которые схема проверки даёт баллы; без метода Гаусса, он относится к реальному профилю.
Что требует программа гуманитарного профиля Страница написана для гуманитарного профиля, а не для реального. Раздел XI.3 программы требует системы линейных уравнений с n уравнениями и n неизвестными, где n=2 или n=3, правило Крамера и приложения в экономике, предпринимательстве и транспорте. Нужно также уметь установить, есть ли у системы решения, и выбрать подходящий метод. Метод Гаусса, системы типа m×n при m,n≤3 (среди них и системы с разным числом уравнений и неизвестных) и однородные системы стоят в списке реального профиля. Подстановка и сложение известны с десятого класса, а если в задании метод не назван, схема проверки засчитывает любой верный метод.
Система и решение Система 2×2 имеет вид {a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2; у системы добавляются ещё одно неизвестное и ещё одно уравнение. Числа при неизвестных называют коэффициентами, а из правой части свободными членами. Решение — упорядоченный набор чисел, пара или тройка при подстановке которого каждое уравнение обращается в верное равенство. Решить систему значит выяснить, есть ли у неё решения, и найти все, если они есть. Ответ записывают множеством, например
Определитель Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали: acbd=ad−bcВ формуле определителя третьего порядка шесть произведений по три элемента, и ни в одном нет двух элементов из одной строки или одного столбца; три произведения складывают и три вычитают:Чтобы запомнить знаки, учебник предлагает правило треугольников и правило Саррюса (рисунки 7.1 и 7.2); в формуле выше первые три произведения идут со знаком плюс, последние три со знаком минус.
Правило Крамера Оно применяется, когда уравнений столько же, сколько неизвестных.
1)Вычислите главный определитель Δ из коэффициентов при неизвестных.
2)Чтобы получить Δi, замените в Δ столбец i столбцом свободных членов; остальные столбцы остаются на месте. Для порядка 2: Δ1=b1b2a12a22,
Пример из учебника для порядка 2: система 2x1−4x2=3,3x1+2x2=1 даёт то есть Для порядка 3 система имеет и решение Если формула даёт как для в примере выше.
Когда Δ=0 Формулы потребовали бы деления на 0, поэтому правило ответа не даёт, а учебник разбирает этот случай отдельно. Здесь важны слова. Система совместна, когда у неё есть хотя бы одно решение: определённая, если решение единственное, и неопределённая, если решений несколько. Если решений два, их бесконечно много. Система без решений несовместна. Три системы из учебника: x1−2x2=3, совместна и определённа ( совместна и неопределённа (второе уравнение вчетверо больше первого, а и — два решения); несовместна (левые части одинаковы, свободные члены разные). У двух последних На гуманитарном уровне ответ ищут уже известными методами: в упражнении 4 учебник предлагает почленно сложить и вычесть уравнения системы, а подстановка и сложение известны с десятого класса.
От задачи к системе В текстовой задаче: 1) обозначьте неизвестные, указав смысл и единицу («x — цена одной ручки, лей»); 2) для каждого условия запишите по уравнению, так что три условия дают три уравнения; 3) решите систему; 4) ответьте на заданный вопрос: это может быть сочетание неизвестных, а не одно из них; 5) проверьте по тексту задачи. Схема проверки оценивает составление системы и её решение отдельно, поэтому систему записывают явно.
Какой метод выбрать Если в задании метод не назван, схема проверки засчитывает любой верный метод. Правило Крамера для порядка 3 требует четыре определителя: Δ,Δ1,Δ2,Δ3. Совет по работе, а не требование: когда в уравнениях появляются нули, подстановка может получиться короче; выберите один метод и доведите его до конца.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
Правило Крамера для систем 2×2 и 3×3 с примерами; урок учителя Ольги Нестеровой для 11 класса, решения ищутся на множестве комплексных чисел, как в учебнике. В последних минутах урока дан признак для случая Δ=0 (все Δi равны нулю, значит решений бесконечно много); его учить не нужно, он верен не всегда, а на этой странице случай Δ=0 разбирается сложением и вычитанием уравнений.
Что такое система линейных уравнений, её решение, совместные и несовместные, определённые и неопределённые системы; урок говорит о системах общего вида (m уравнений, n неизвестных) и добавляет только терминологию, а на странице разобраны системы n×n при n=2 и n=3.
Урок на румынском языке (русского урока по этой теме нет): с 10:34 текстовая задача из промышленности сводится к системе 3×3 и решается по правилу Крамера; до этого места урок посвящён матрицам.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
17 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
