Что требует программа в гуманитарном профиле
В программе BAC тема «Пропорции. Проценты» стоит в единице X.1 (раздел «Алгебра») рядом с операциями над действительными числами, а её приложения — в повседневной жизни, физике, химии, финансах, экономике и других областях. Страница написана под работу гуманитарного профиля: вычисления с пропорциями и процентами и составление простого уравнения по условию, без доказательств. Проценты по вкладам (простые и сложные) разобраны отдельно, в единице по финансовой математике.
Отношение и пропорция
Пропорция — это равенство двух отношений, ba=dc. Числа a и d — крайние члены, b и c — средние. Основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних, a⋅d=b⋅c. С его помощью находят неизвестный член: из bx=dc следует x=db⋅c, то есть члены перемножают «крест-накрест» и делят на оставшийся.
Из одной пропорции получают другие, их называют производными. Можно перевернуть оба отношения (ab=cd, если a,c=0), поменять местами средние члены ( или крайние ( или прибавить одно и то же число к обеим частям равенства; для числа выходит
Деление в заданном отношении
Когда величину S делят в отношении m:n, одну часть обозначают x, другую S−x и записывают пропорцию S−xx=nm. Так учебник решает задачу о смеси белой и жёлтой краски в отношении
Прямая и обратная пропорциональность
В задачах на проценты часть T и число процентов p прямо пропорциональны: отношение pT=100G остаётся прежним. Обратная пропорциональность устроена иначе: если увеличивается в несколько раз, то уменьшается в столько же раз, а произведение остаётся постоянным. Прежде чем считать, определи тип: при прямой постоянно отношение, при обратной — произведение.
Процент
Процент — это одна сотая той величины, от которой его отсчитывают, то есть базовой величины G; p% от G равны 100p⋅G. В вычислениях процент заменяют дробью или десятичным числом: а
Все основные задачи вытекают из схемы G→100%, T→p%. Она даёт пропорцию 100G=pT, то есть и из этого равенства находят одну величину, когда три другие известны:
| Что найти | Формула | Типичный вопрос |
|---|
| часть T | T=100G⋅p | чему равны p% от |
Какая величина базовая
Перед любым вычислением назови базовую величину: число, от которого отсчитывают процент. В вопросе «сколько процентов от A составляет B» база — A, слово после «от». Часть T не всегда дана прямо: если из 800 домов 560 подключены к интернету, а спрашивают про дома без интернета, учебник находит её разностью, при
Проценты один за другим
Увеличение на p% прибавляет к величине p% от неё, поэтому умножает её на 1+100p; так учебник 12 класса записывает сумму после начисления процентов: S0+S0⋅100p=S0⋅(1+100p). Уменьшение на убирает от величины, поэтому умножает её на при снижении на остаётся цены. Второй процент применяют к уже изменённой величине, поэтому множители перемножают, а проценты не складывают. Учебник показывает это на двух снижениях цены, на и затем на конечная цена равна первоначальной, то есть на ниже, а не на
Как записать решение
- 1)Обозначь неизвестную величину через x и скажи, какова база процента.
- 2)Запиши каждый процент как множитель (0,7 или 1,2) или как дробь.
- 3)Составь уравнение: множители, умноженные на x, равны заданному значению.
- 4)Реши уравнение первой степени и проверь, пройдя вперёд от x.
- 5)Ответь на вопрос задания, он может спрашивать не про x, и укажи единицу (
За что начисляют баллы
В работе гуманитарного профиля любой верный метод засчитывается, если задание не требует конкретного, и не нужны вычисления, которых нет в условии. В заданиях с уравнением из схем 2024 и 2025 годов, приведённых ниже, уравнение стоит 4 или 6 баллов из 8, остальное приходится на решение и ответ на поставленный вопрос. В других заданиях на проценты баллы начисляют за промежуточные шаги, например за цену после каждого изменения, поэтому записывай и шаги.
