Площади: прямоугольник, параллелограмм, ромб, треугольник, трапеция, круг
Площади плоских фигур из программы за гимназию: четырёхугольники, треугольник и формула Герона, длина окружности и площадь круга. Здесь формулы с пояснением каждой буквы, соотношения между площадями и ошибки, которые стоят баллов.
Площади
- Понятие площадь.
- Площадь квадрата, прямоугольника.
- Площадь параллелограмма.
- Площадь ромба.
- Площадь треугольника (A = 0,5 ah; формула Герона).
- Площадь трапеции.
- Площадь равностороннего треугольника.
- Длина окружности. Площадь круга.
Что требует программа По теме «Площади» программа экзамена за гимназию требует понятие площади, площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции и равностороннего треугольника, площадь треугольника по формуле A=21ah и по формуле Герона, а также длину окружности и площадь круга. Куррикулум IX класса включает в эту главу ещё площадь правильного шестиугольника, которой в списке программы экзамена нет.
Что такое площадь Площадь показывает, насколько велика многоугольная поверхность — например, выпуклый многоугольник вместе с его внутренней областью; коротко говорят о площади многоугольника. Её описывают четыре правила:
площадь никогда не бывает отрицательной;
у конгруэнтных многоугольников площади равны;
если разрезать многоугольник на несколько многоугольников, площадь целого — сумма площадей частей;
квадрат со стороной 1 имеет площадь 1.
Отсюда единицы измерения: квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², со стороной 1 м — 1 м². Если у многоугольников площади одинаковые, их называют эквивалентными, даже когда формы у них разные. Правило сложения площадей — самое полезное в задачах: сложную фигуру разрезают на треугольники и прямоугольники и складывают их площади.
Четырёхугольники
Фигура
Площадь
Что означают буквы
квадрат
A=a2
a — сторона
прямоугольник
A=a⋅b
a и b — стороны
параллелограмм
A=a⋅h
У параллелограмма сторона и высота идут в паре: высота — это перпендикуляр к выбранной стороне, а не вторая сторона. Произведение двух соседних сторон даёт площадь прямоугольника с такими же сторонами, а не этого параллелограмма.
Треугольник Основная формула — A=21a⋅h: сторону умножают на проведённую к ней высоту и делят на 2. Сторону можно взять любую, но вместе с её высотой. Три частых случая:
в прямоугольном треугольнике катеты a и b перпендикулярны, поэтому A=2a⋅b;
площадь равностороннего треугольника со стороной a равна A=4a23;
Два соотношения между площадями
Если точка M лежит на стороне AC треугольника ABC между A и C, у треугольников ABM и MBC общая высота из вершины B, поэтому их площади относятся как MCAM. Когда — середина то есть — медиана, эти треугольники эквивалентны.
Окружность и круг Для окружности радиуса R длина равна L=2πR, а площадь круга, который она ограничивает, — A=πR2. Число π иррациональное, π≈3,14159. Окружность состоит из точек, удалённых от центра на радиус, а диаметр — хорда, проходящая через центр. Значит, концы диаметра удалены от центра на и лежат по разные стороны от него, поэтому диаметр равен если в задаче дан диаметр, радиус равен его половине. Точный ответ можно оставить с например см²; так записан и ответ задачи о площади полукруга в бареме ANCE.
Как решать задачу
1)Начерти фигуру и отметь на чертеже, что дано.
2)Выбери формулу по тому, что известно: сторона и высота, диагонали, все стороны или радиус.
3)Если высоты нет, ищи её в прямоугольном треугольнике на чертеже.
4)Приведи все длины к одной единице, а площадь запиши в квадратных единицах: см², м².
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
h — высота, проведённая к стороне a
ромб
A=2d1⋅d2
d1 и d2 — диагонали
трапеция
A=2(a+b)⋅h=m⋅h
a,b — основания, h — высота, m — средняя линия
если известны все три стороны, работает формула Герона: A=p(p−a)(p−b)(p−c), где p=2a+b+c — полупериметр.
M
AC,
BM
У двух подобных треугольников с коэффициентом подобия k отношение площадей равно k2: стороны вдвое длиннее дают площадь вчетверо больше.
