Алгебраические отношения и тождества: ОДЗ, сокращение, действия
Алгебраическое отношение на экзамене за гимназию: ОДЗ, основное свойство и сокращение, четыре действия и доказательство тождеств. Здесь правила из учебника IX класса, с примерами и ловушками ОДЗ.
- Понятие алгебраическое отношение. Область допустимых значений (ОДЗ).
- Основное свойство и сокращение алгебраических отношений.
- Арифметические действия над алгебраическими отношениями.
- Тождество. Тождественные выражения.
- Тождественные преобразования алгебраических выражений.
- Доказательство некоторых простых тождеств.
Что требует программа Тему проходят в IX классе. Программа экзамена делит её на шесть пунктов: понятие алгебраического отношения и ОДЗ, основное свойство и сокращение, арифметические действия, тождество и тождественные выражения, тождественные преобразования и доказательство простых тождеств.
Алгебраическое отношение Если ни одна переменная в выражении не стоит под корнем, выражение рациональное. Разделив одно такое выражение на другое, получают алгебраическое отношение; учебник называет его ещё алгебраической дробью. Например, x2−1x+5 — алгебраическое отношение, а x−12 — нет: x стоит под корнем.
Область допустимых значений (ОДЗ) На ноль делить нельзя, поэтому отношение имеет смысл только там, где знаменатель не равен нулю. Множество таких значений и есть ОДЗ. Чтобы её найти, приравняй знаменатель к нулю, реши уравнение и исключи его решения из R:
2−aa2−2: из 2−a=0 получаем a=2, значит, ОДЗ
Значение отношения F(x) при x=a обозначают F(a) и вычисляют, только если a входит в ОДЗ.
Основное свойство и сокращение
Основное свойство: числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же ненулевое рациональное выражение. Так отношения приводят к общему знаменателю.
Сократить отношение — разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение. Сначала оба раскладывают на множители, потом делят на общий множитель.
Новое отношение равно данному на общей ОДЗ обоих. Но сама ОДЗ может измениться: x2+xx2+2x+1=x(x+1)(x+1)2=xx+1, и значение запрещённое вначале, уже не обнуляет новый знаменатель. Исключённым оно всё равно остаётся: исходное выражение при смысла не имеет.
Отношение, которое ещё можно сократить, называют сократимым, а которое нельзя — несократимым: x2−4x(x−2) сократимое, x+2x несократимое.
Действия
Действие
Как выполнять
сложение, общий знаменатель
ca+cb=ca+b
В конце результат сокращают до несократимого. Для сложения и умножения отношений верны те же законы, что и для действительных чисел: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность.
Деление меняет ОДЗ При делении делитель переворачивается: обратным для xx−1 является x−1x. Числитель делителя попадает в знаменатель, поэтому из ОДЗ исключают и значения, при которых он равен нулю. Пример из программы: выражение (x+21+x2−4x2+2):x2−4x+1 рассматривают на Значения обнуляют знаменатели, а — числитель делителя.
Тождество Если два выражения от одних переменных дают равные значения везде, где оба имеют смысл (на общей ОДЗ), они тождественно равны, а их равенство — тождество. Замену выражения тождественно равным называют тождественным преобразованием. У тождества есть своя область:
x+51−x=x2+5xx−x2 — тождество на а не на
Как доказать тождество
1)Преобразовать левую часть и получить правую.
2)Преобразовать правую часть и получить левую.
3)Преобразовать обе части до одного и того же выражения.
4)Вычесть левую часть из правой и показать, что разность равна нулю.
Сначала запиши ОДЗ, потом делай только тождественные преобразования. Если в условии сказано «Покажите, что E(x)=… для любого x из…», нужно доказать тождество на данном множестве.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
О чём: Фрагмент с 26-й по 43-ю минуту, подготовка к экзамену IX класса: ОДЗ, деление и сокращение дробей в выражении, которое должно принимать натуральные значения, затем сумма двух алгебраических дробей, равная 2, с отбором решений по ОДЗ.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
16 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — прогноз, а не официальная отметка.
=R∖{2};
x2+5xx−x2:x2+5x=x(x+5) обращается в ноль при 0 и −5, значит, ОДЗ =R∖{−5;0}.
−1,
−1
сложение, разные знаменатели
привести к общему знаменателю, затем сложить числители
вычитание
к уменьшаемому прибавить отношение, противоположное вычитаемому
умножение
ba⋅dc=bdac
деление
ba:dc=ba⋅cd
степень
(ba)n=bnan
R∖{−2;−1;2}.
±2
−1
x+1
R∖{−5;0},
R;
(x−1)2−(x+1)2−4=x2−(x+2)2 — тождество на всём R: обе части дают −4(x+1).
